精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
第一部分知识梳理
一.直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系：
（1）直线l和⊙O相离⇔d r
>
此时：直线和圆没有公共点．
（2）直线l和⊙O相切⇔d r
=
.
（1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.
（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.
（3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.
证明直线是圆的切线的两种情况:
（1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径
长”来判定直线与圆相切.
（2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”.
二.圆与圆的位置关系
1.圆与圆的五种位置关系
在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、
（
（
（
（
（
2.
注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切.
3.相交两圆的性质
相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．
注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲
例1如图，已知Rt ABC
∆中，∠C=90°，AC=3，BC=4
（1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？
（2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？
（3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围.
. 已知Rt ABC
∆中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B.
（1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.
（2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围.
例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且
求证：直线AB是⊙O的切线．
出题意图：考查切线的判定定理.
解析：欲证AB是⊙O的切线,由于AB过圆上点C,若连结OC,则AB过半径OC的外端,只需证明OC⊥AB即可.
答案：
∵
∴
∴
∴
例3
BC=5
y
∵⊙A、⊙B、⊙C两两外切，
∴AB＝x＋y，BC＝y＋z，CA＝z＋x.
根据题意，得关于x、y、z的方程组
⎪⎩
⎪
⎨⎧=+=+=+653x z z y y x 解得
⎪⎩
⎪
⎨⎧===142z y x
∴⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径长分别为2厘米、1厘米、4厘米. 针对训练3
如图，⊙O 的半径为5厘米，点P 是⊙O 外一点，OP=8厘米. 求：例4. ∴∴1
已知1和2O 相交于122别交1O 于点C 、D. 求证：AC BD =
例5如图，1O 与2O 内切于点P ，经过1O 上点Q 的切线与2O 相交于A 、B 两点，直线PQ 交2O 于点R.
求证：RA RB =
出题意图：考查相切两圆的性质.
解析：利用相切两圆的性质：两圆相切，连心线过切点.本题中过两个圆心作一条直线，则这条之间直线必过点P ，然后利用圆中的相关知识即可解答. 2O 内切于点
∴经过点P
∴1O 相切与点
5
1O 与2O 外切于点，经过1O 上点2O 相交于PQ 2O 于点R. 例6上，1O 、2O 外切于点P.1O 与2O 与AC AB 相离. （1（2）设O 的半径长为
定义域.
出题意图：考查圆与圆位置关系的综合应用
解析：利用等腰三角形的性质和圆与圆的位置关系，可推导出第一问的结论，再结合锐角三角比的知识推出函数解析式，在考虑定义域的时候要考虑到相关动点的临界位置问题，这是个难点，需要多加注意.
答案：
解：（1）联结1O D
1O 与AB 相切于点D
DP ∴∥AC
（2）联结2O E ，则2O E AC ⊥，作AH BC ⊥于H. 当1O 与AC 当2O 与AB 在∆（1（2.
1. A.B.C.D.过直径的端点且与该直径垂直的直线.
2.已知O 的直径等于12cm ，圆心O 到直线l 的距离为5cm ，则直线l 与O 的交点个数为（）
A.0B.1C.2D.无法确定
3.
1O 的半径为3厘米，2O 的半径为2厘米，圆心距12O O =5厘米，这两圆的位置关系是（）
A.内含
B.内切
C.相交
D.外切
4.已知两圆的直径分别为6cm 和10cm ，当两圆外切时，它们的圆心距d 的大小是（） A.8d cm = B.48cm d cm << C.8d cm > D.4d cm =
5.已知线段AB=3cm ，
A 的半径为4cm ，若A 与
B 相切，则B 的半径为cm.
6.如图，AB 与O 相切于点C ，OA=OB ，若O 的直径为8cm ，AB=10cm ，那么OA 的长是 cm.
7.设与O 的位置关
系是.
8.9.1O 、2O 的半径长分别是，如果1O 与2O 内含，那么圆心距d 的取值范围为.
10.11.已知1O 和2O 的半径为方程和2O 的位置关系.
12.求证：以AB 为直径的与CD 相切.
13.如图，OA=OB=8，OA ⊥OB ，以O 为圆心、OA 为半径作AB ，2O 与以OA 为直径的1O 相切于点E ，与AB 相切于F ，与OB 相切于D ，求2O 的半径长.
14.如图，已知A 是1O 、2O 的一个交点，点P 是12O O 的中点.过点A 的直线MN 垂直于PA ，交1O 、2O 于M 、N.
求证：AM=AN.
15.已知1O 和2O 相交于A 、B 两点，公共弦与连心线12O O 相交于点G ，若AB=48，1O 的半径130r =，2O 的半径240r =. 求12AO O ∆的面积. 提高训练题（B ）
1.，则直线与O 的位置关系是（）
A.2.已知
A.相交3.r 、d 4.1O 和2O 的圆心距径为5.Rt D 为圆心、（1（26.A 为圆心，AB 为半径的圆弧外切，求tan ∠EAB 的值.
7.如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°. （1）求证：CD 是O ⊙的切线；
（2）若O ⊙的半径为3，求BC 的长．（结果保留π）
8.如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=8，以AC 为直径作O ，以B 为圆心，
4为半径作B .
求证：O 与B 相外切.
9.如图，已知O 与A 交于B 、C 两点，A 在O 上，AD 是O 的直径，AD 交BC 于M ，AE 是O 的弦，AE 交BC 于N.若AM=4cm ，AN=6cm ，AE=24cm ，求O 的半径.
10.如图，AB 为半圆O 的直径，P 是AB 延长线上一点，将线段PA 绕点P 旋转到与半圆O （1（2（31.BC 2.C 、D ，
弦3.在90，AC=3OC=x ，∆的面积为y.求y 与x 之间的函数关系式.
4.在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，4），直线CM x ∥轴（如图7所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线b x y +=（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．
（1）求b 的值和点D 的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若△POD是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，如果以PD为半径的⊙P与⊙O外切，求⊙O的半径．
x
1.（
2.
3.（
4.
案.
5.
6.（
（2
基础训练题（A）
1.C
2.C
3.D
4.A
5.1cm或7cm
7.相切
8.内切
9.02cm d cm ≤<
10.4
11.两圆内含.（提示：算出半径之和和半径之差的绝对值，然后与圆心距比较即可）
12.
13.14.1.D 2.A
3.4.4
5.6.tan 7.（18.9.18cm(提示：由于△AMN ∽△AED ，列出比例式，从而可以求出AD 的长，即可算出答案)
10.（1）证明略（2）1（3）35
综合迁移题（C ）
1.43
(提示：两圆外切圆心距等于半径之和，矩形的两边和对角线都为两个圆的半径之和，因此可通过勾股定理求出a 、b 的关系)
2.EB 与圆O 2相切，证明过程略
3.2273215(0)501082
y x x x =-++<<（提示：BEC ABC AED BDC S S S S ∆∆∆∆=--） 4.（1）D （3，4）
（2）符合条件的点P 有三个,分别是（5，0），（6，0），（
25,06
）.
（3）当P （5，0）时，⊙O 的半径为5-当P （6，0）时，⊙O 的半径为1 当。