二次函数的解析式【重点难点提示】重点：二次函数的解析式难点：从实际问题中抽象出二次函数考点：二次函数的解析式的求法是中考命题的重中之重，它可以填空题、选择题出现，更多的是通常以综合题的形式出现在中考试卷的压轴题中，占10~12分左右。

【经典范例引路】例1 已知函数y=x 2+kx －3图象的顶点为C 并与x 轴相交于两点A 、B 且AB=4（1）求实数k 的值；（2）若P 为上述抛物线上的一个动点（除点C 外），求使S △ABC =S △ABP 成立的点P 的坐标。

解 （1）设A(x 1,0)B(x 2,0)则AB 2=|x 2－x 1|2=(x 1+x 2)2－4x 1x 2=k 2+12=16∴k=±2(2)由y=x 2±2x －3= (x ±1)2－4得点C 1(1,－4),C 2(－1,－4)∴S △ABC =21×4×4=8设点P(x,4)在抛物线上，则有x 2±2x －3=4,即x 2±2x －7=0得：x=－1±22或x=1±22∴P 点坐标为（－1+22，4）（－1－22，4）（1+22，4）（1－22，4）例2 阅读下面的文字后，解答问题有这样一道题目：已知：二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a),B(1,－2)求证这个二次函数图象的对称轴是直线x=2，题目中的横线部分是被墨水污染了无法辨认的文字。

（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式，若能，写出求解过程？若不能，说明理由（2）请你根据已有信息，在原题中的横线上，填加一个适当的条件，把原题补充完整。

解 （1）能：根据题意有：⎩⎨⎧++=-=c b a c a 2又∵二次函数图象的对称轴为x=2 ∴－a b2=2解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++=222abcbaca⎪⎩⎪⎨⎧=-==141cba∴能求出二次函数解析式，解析式为y=x2－4x+1（2）可供补充的内容有：（任选一个）①满足y=x2－4x+1的任一点的坐标②a=1或b=－4或c=1③与y轴交点坐标为（0，1）④与x轴交点坐标为（2－3，0）或(2+3,0)⑤最值为－3⑥顶点为（2，－3）等【解题技巧点拨】解此题的关键是把直线x=2作为已知条件来用，从而确定二次函数的解析式。

【同步达纲练习】一、填空题1.有一个抛物线拱桥形，其最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中（如图），则此抛物线解析式为。

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（0，1），B（－1，0），C（1，0），那么函数解析式是如果y随x的增大而减少，那么x的变化范围是。

3.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为3，则此抛物线解析式为。

4.已知抛物线y=x2－(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，同a= 。

二、选择题5.已知抛物线y=ax2+bx+c，经过A(4，－2),B(12,－2)两点，那么它的对称轴是（）A.直线x=7B.直线x=8C.直线x=9D.无法确定6.把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）A.y=3(x+3)2－2B.y=3(x+3)2+2C.y=3(x－3)2－2D.y=3(x－3)2+27.已知函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么函数解析式为（）A.y=－x2+2x+3B.y=x2－2x－3C.y=－x2－2x+3D.y=－x2－2x－38.关于x的二次函数y=x2－2mx+m2和一次函数y=－mx+n(m≠0)，在同一坐标系中的大致图象正确的是（）三、解答题9.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=2时，有最大值2，其图象在x轴截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

10.如图在平面直角坐标系中A、B是x轴上两点，C是y轴上一点，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AO、BO 为直径的半圆，分别交AC、BC于E、F点，若点C坐标为（0，3）。

（1）求图象过A、B、C三点的二次函数的解析式（2）求图象过点E、F的一次函数的解析式。

11.已知：二次函数的图象经过点A （1，0）和点B （2，1），且与y 轴交点的纵坐标为m（1）若m 为定值，求此二次函数的解析式（2）若二次函数的图象与x 轴还有异于点A 的另一个交点，求m 的取值范围（3）若二次函数的图象截直线y=－x+1所得线段长为22，求m 的值。

12.如图，抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴交于A(1,0),B(5,0)两点，与y 轴交于M ，抛物线顶点为P ，且PB=25（1）求这条抛物线的顶点P 的坐标和它的解析式（2）△MOP （O 为坐标原点）的面积。

13.已知抛物线y=x 2－(2m －1)x+m 2－m －2（1）证明抛物线与x 轴有两个不同的交点（2）分别求出抛物线与x 轴的交点A 、B 的横坐标x A ,x B ,以及与y 轴的交点C 的纵坐标y C （用含m 的代数式表示）（3）设△ABC 的面积为6，且A 、B 两点在y 轴的同侧，求抛物线的解析式。

14.已知抛物线y=－21x 2－(n+1)x －2n(n<0)经过A(x 1、0),B(x 2、0)，D （0、y 1），其中x 1<x 2,△ABD 的面积为12（1）求这条抛物线的解析式及它的顶点坐标（2）如果点C （2，y 2）在这条抛物线上，点P 在y 轴正半轴上，且△BCP 为等腰三角形，求直线BP 的解析式。

15.某化工材料经销公司购进了一种化工原料，共7000千克，购进价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元也不得低于30元，市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克，单价每降低1元，日均多售出2千克，在销售过程中，每天还要交出其他费用500元。

（天数不足一天时，按整天计算）设销售为x 元，日均获利为y 元。

（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围（2）将（1）中所求出的二次函数配方成y=a(x －h)2+k 的形式，写出顶点坐标、画出草图、观察图像，指出单价定为多少元时，日均获利最多，是多少？16.已知二次函数y=x 2－(2m+4)x+m 2－4（x 为自变量）的图象与y 轴的交点在原点的下方，与x 轴交于A 、B 两点，点A 在点B 的左边，且A 、B 两点到原点的距离AO 、OB ，满足3（OB －AO ）=2AO ·OB ，直线y=kx+k 与这个二次函数图象的一个交点为P ，且锐角∠POB 的正切值为4。

（1）求这个二次函数解析式 （2）确定直线y=kx+k 的解析式17.已知抛物线y=x 2+bx+c 的顶点在第一象限，顶点的横坐标是纵坐标的2倍，对称轴与x 轴的交点在一次函数y=x －c 的图象上，求b 、c 的值。

18.今有网球从斜坡点O 处抛出（如图），已知网球的运动路线方程是y=4x －21x 2，斜坡的方程是y=x 21，其中y 是垂直高度（米），x 是与点O 的水平距离（米）（1）网球在斜坡的落点为A ，写出点A 的垂直高度，以及点A 与点O 的水平距离；（2）在图象中，标出网球所能达到的最高点B ，并求出OB 与水平线OX 之间夹角的正切。

19.已知抛物线y=x 2－2x+m 与x 轴有两个不同的交点A 、B ，其坐标为A(x 1,0),B(x 2,0)，其中x 1<x 2,且x 12+x 22=4（1）求这条抛物线，（2）设所求抛物线顶点为C ，P 是此抛物线上的一点，且∠PAC=90°，求P 点的坐标。

20.已知二次函数y 1=ax 2+2bx+c 与y 2=(a －1)x 2+2(b －2)x+c －3的图象如图所示，C 点坐标为（－1，0），B 点的横坐标为－3，D 点与C 点关于y 轴对称，线段AB 与线段BC 等长，求这两条抛物线的解析式。

【创新备考训练】21.已知点A （1，2）和B （－2，5），试写出两个二次函数，使它们的图象都经过A 、B 两点 （20XX 年广州市中考题）22.（2002吉林省中考题）如图，一单杠高2.2米，两立柱之间的距离为1.6米，将一根绳子的两端栓于立柱与铁杠结合处，绳子自然下垂呈抛物线状。

（1）一身高0.7米的小孩站在离立柱0.4米处，其头部刚好触上绳子，求绳子最低点到地面的距离；（2）为供孩子们打秋千，把绳子剪断后，中间系一块长为0.4米的木板。

除掉系木板用去的绳子后，两边的绳子长正好各为2米，木板与地面平行，求这时木板到地面的距离（供选用数据：36.3≈1.8，64.3≈1.9，36.4≈2.1）.参考答案1.y= － 251x 2+58x (0≤x ≤40)2.y= －x 2+1 (x>0)3.y= －x 2+2x －1－3或y= －x 2+2x －1+34.a= －2或4或－8（顶点可能在x 轴上，也可以在y 轴上）5.B6.D7.A8.B9.y= －2x 2+8x －610.(1)y= －33x+33x+3,(2)y= －33x +3311.(1)y=21+m x 2－213+m x+m(m ≠－1),(2)△=41(m －1)2,∴m 的取值范围是m ≠±1 （3）m=－5或3112.(1)P(3,－4)，解析式y=x 2－6x+5 (2)S △MOP =7.513.(1)△=9>0,∴抛物线与x 轴有两个不同的交点，（2）y c =m 2－m －2,(3)y=x 2－5x+4或y=x 2+5x+414.(1)y= －21x 2+x+4，顶点(1,29)，（2）BP 为y=－221+x15.(1)y= －2x 2+260x －6500 (30≤x ≤70),(2)y= －2(x －65)2+1950，顶点(65,1950)图略，当单价是65元时，日均获利最多是1950元16.(1)y 2=x 2－2x －3,(2)y=23x+23或y= －2x －217.b=－1,c=2118.(1)垂直高度为3.5米，水平距离为7米，（2）B （4，8），且tanx=48=2(∠BOX=x)19.①y=x 2－2x,②P(3,3) 20.y 1=31x 2－31,y 2= －32x 2－4x －31021.本题答案不唯一，解法（1）：抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （1，2），B(－2,5)两点得⎩⎨⎧+-=++=c b a c b a 2452 ②① ②－①得3a －3b=3,a －b=1，设a=2,得b=1，代入①得c=－1，得y=2x 2+x －1 设a=1，得b=0，代入①得 c=1，得y=x 2+1解法（2）：抛物线y=ax 2+bx+c经过A(1,2),B(－2,5)和(0,0)三点 依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=c c b a c b a 02452 解得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===02123c b a 得y=23x 2+21x 用同样的方法可得另一函数。