第二十六章 二次函数【知识梳理】1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .4.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.5.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，新动力教育 数学杨老师对称轴是直线ab x 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 7.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121【能力训练】1．二次函数y=－x 2＋6x －5，当x 时， 0<y ，且y 随x 的增大而减小。

新动力教育 数学杨老师2.抛物线)2(22++-=m mx x y 的顶点坐标在第三象限，则m 的值为（ ） A ．21>-<m m 或 B ．10-><m m 或 C ．01<<-m D ．1-<m ． 3．抛物线y=x 2－2x ＋3的对称轴是直线（ ） A ．x =2 B ．x =－2 C ．x =－1 D ．x =14． 二次函数y=x 2+2x －7的函数值是8，那么对应的x 的值是（ ） A ．3 B ．5 C ．－3和5 D ．3和－5 5．抛物线y=x 2－x 的顶点坐标是（ ） 11111A.(1,1) .(,1) .(,) .(,)22424B C D -6．二次函数c bx ax y ++=2的图象，如图1－2－40所示，根据图象可得a 、b 、c 与0的大小关系是（ ）A ．a ＞0，b ＜0，c ＜0B ．a ＞0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＜0D ．a ＜0，b ＞0，c ＜07．小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3．5 t －4．9 t 2(t 的单位s ；h 中的单位：m ）可以描述他跳跃时 重心高度的变化．如图，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ） A ．0．71s B ．0.70s C ．0.63s D ．0．36s8．已知抛物线的解析式为y=－（x —2）2＋l ，则抛物线的顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（2，l ）C ．（2，－1）D ．（1，2）9．若二次函数y=x 2－x 与y=－x 2+k 的图象的顶点重合，则下列结论不正确的是（ ） A ．这两个函数图象有相同的对称轴 B ．这两个函数图象的开口方向相反 C ．方程－x 2+k=0没有实数根 D ．二次函数y=－x 2＋k 的最大值为1210．抛物线y=x 2 +2x －3与x 轴的交点的个数有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 11．抛物线y=（x —l ）2 +2的对称轴是（ ）A ．直线x =－1B ．直线x =1C ．直线x =2D ．直线x=212．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则在“① a ＜0，②b ＞0，③c ＜ 0，④b 2－4ac ＞0”中，正确的判断是（ ）A 、①②③④B 、④C 、①②③D 、①④13．已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=－2时，x 的值只能取0．其中正确的个数是（ ）A ．l 个B ．2个C ．3个D ．4个14．如图，抛物线的顶点P 的坐标是（1，－3），则此抛物线对应的二次函数有（）A ．最大值1B ．最小值－3C ．最大值－3D ．最小值115．用列表法画二次函数c bx ax y ++=2的图象时先列一个表，当表中对自变量x 的值以相等间隔的值增加时，函数y 所对应的值依次为：20，56，110，182，274，380，506，650．其中有一个值不正确，这个不正确的值是（ ） A ．506 B ．380 C ．274 D ．18216．将二次函数y=x 2－4x+ 6化为 y=(x —h)2+k 的形式：y=___________ 17．把二次函数y=x 2－4x+5化成y=(x —h)2+k 的形式：y=___________ 18．若二次函数y=x 2－4x+c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c=__ _________________（只要求写一个）．19．抛物线y=(x －1)2+3的顶点坐标是____________．20．二次函数y=x 2－2x －3与x 轴两交点之间的距离为_________. 21. 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （－1,0）、B （3,0）、C （0,3）三点，(1)求抛物线的解析式和顶点M 的坐标，并在给定的直角坐标系中画出这条抛物线。

(2)若点（x 0,y 0）在抛物线上，且0≤x 0≤4,试写出y 0的取值范围。

22．华联商场以每件30元购进一种商品，试销中发现每天的销售量y （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数y=162－3x ；（1）写出商场每天的销售利润w （元）与每件的销售价x （元）的函数关系式； （2）如果商场要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少为最合适？最大销售利润新动力教育 数学杨老师为多少？23．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）． 根据图像提供的信息，解答下列问题： （1）求累积利润s （万元）与时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？24．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB 的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD 的宽为10米，（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥280千米，（桥长忽略不计）货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶到1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时25.0米的速度持续上涨，（货车接到通知时水位在CD 处），当水位达到桥拱最高点O 时，禁止车辆通行；试问：汽车按原来3 4 56 -1 -2 -3s(万元)t(月)O4 32 1 12速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米？25.已知直线y＝－2x＋b(b≠0)与x轴交于点A，与y轴交于点B;一抛物线的解析式为y ＝x2－(b＋10)x＋c.⑴若该抛物线过点B，且它的顶点P在直线y＝－2x＋b上，试确定这条抛物线的解析式；⑵过点B作直线BC⊥AB交x轴于点C，若抛物线的对称轴恰好过C点，试确定直线y ＝－2x＋b的解析式.26．已知抛物线y=(1-m)x2+4x-3开口向下，与x轴交于A(x1,0)和B(x2,0)两点，其中x l<x2．(1)求m的取值范围；(2)若x12+ x22=10，求抛物线的解析式，并在给出的直角坐标系中画出这条抛物线；新动力教育 数学杨老师27．如图，等腰梯形ABCD 的边BC 在x 轴上，点A 在y 轴的正方向上，A ( 0, 6 )，D ( 4，6)，且AB=210 . （1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中所求的抛物线上是否存在一点P ，使得S △PBD =12 S 梯形ABCD 。