第二章
事件的概率
第一节 概率的概念
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概率的含义：
对于事件发生的的可能性大小，需要用一
个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事
件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能
在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。
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古典概型是一类比较简单,直观的随机试验,有以下 两个明显特征:
（1）试验所有可能的结果个数有限, 样本空间可表示为 1 , 2 , 3 , （2） 各个试验结果 1 ,2 ,3 ,
, n ；
, n
在每次实验中发生的可能性是相同. 样本空间有限
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例1(2) 一批产品由70件正品和30件次品组成，连
续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问“两
次都取得次品”的概率多大？
30 29 29 p = 0.088 100 99 330
若改为有放回的抽取方式呢？
“第一次取得正品且第二次取得次品”的概率 70 30 21 p1 = =0.21 100 100 100 30 30 =0.09 “两次都取得次品”的概率 p2 100 100
连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，
问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多 大？ 解：用A表示事件“第一次取得正品且第二次 取得次品”， 由于是无放回地抽取，应用乘法原理可知 总的抽取方法有：100×99种，
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分析：该题概率的计算方法与盒子模型相同.
n P365 解： P1 ， n 365
P2 1 P1 .
30 40 50 60
n
10
20
P2
0.1160 0.4058 0.6963 0.8820 0.9651 0.9922
当n>50时，第二个事件几乎是必然事件，这与我们 的直观想像是不同的。
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例3
从一副扑克牌〔52张〕中任取3张，求取出的
三张是同花〔A〕、顺〔B〕及同花顺〔AB〕的概率。
3 共有多少种取法？ C 52 3 A的取法 4 C13 ，
B的取法 A23,234, AB的取法 4 12
1 1 1 , QKA. 12 C4 C4 C4
3 4 C13 P ( A) 0.05176, 3 C52
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m1 频率 n 1
m2 n2
ms ns
概率p
这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道 路。在实际中，当概率不易求出时，人们常取实 验次数很大时事件的频率作为概率的估计值.并称 此概率为:统计概率。 思考：当n 时， 这种确定概率的方法称为频率方法。 f n ( A) P ( A)吗？
我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标
叫做事件的概率。
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在一般情况下，对一个随机试验，如何
度量随机事件发生的可能性的大小呢？为了
回答这个问题，我们先引进频率的概念。 设随机事件A在n次试验中发生了r次，则
称比值 r/n为这n次试验中事件A发生的频率，
即
r f n ( A) n
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在了解了定义之后，我们从试验入手，会发现 随机事件一个极其重要的特征：
频率的稳定性
频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大 小。尽管每进行一连串（n次）试验，所得到的频率 可以各不相同，但只要n相当大，频率与概率是会非 常接近的。
4 12 P ( AB ) 3 C 52
1 1 1 12 C4 C4 C4 P( B) 0.03475 3 C52
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0.002172
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例4(抽签问题) 设某超市有奖销售，投放n张奖券
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几何概型：——面积型 1、样本空间Ω 是平面上某个区域，它的面积为S(Ω ); 2、向区域Ω 上随机投掷一点，这里“随机投掷一点”
的含义是指该点落入Ω 内任何部分区域内的可能性只
与这部分区域的面积成比例，而与这部分区域的位置 和形状无关。
3、事件A是Ω 的某个区域，它的面积为S(A),则向区域
概率
n2
n1 n2
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概率
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三、概率的性质
1、非负性： 2、正则性： 3、可列可加性:
0 P ( A) 1 P ( ) 1 (1) (2)
若A1 , A2 ,
（1） 共有Pnn n!种不同的放法，
n! 所以， p1 n ; N
n （2） 共有PN 种不同的放法，
n PN 所以， p2 n . N
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生日问题： n (n 365)个人的生日各不相同的概率 是多少？ 至少有两个人生日相同的概率是多少？
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因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。 考虑在相同条件下进行的S 轮试验
第一轮 试验 试验次数n1 事件A出现 m1次
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第二轮 试验 试验次数n2 事件A出现 m2次
第一次取正品的方法有70种，第二次取次品 的方法有30， 则A中包含的抽取方法共70×30种， 所求概率为：
70 30 7 P A 0.21 100 99 33
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只有1张有奖，每位顾客抽取一张，求第一位顾客、
任一位顾客中奖的概率。
1 第一位顾客中奖的概率 p1 n
“第k位顾客中奖”表明前k-1位顾客都未中奖， 第k位顾客中奖的概率
( n 1) ( n k 1) 1 1 . pk n( n 1) ( n k 1) n
中奖率与抽取先后次序无关.
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历史上抛硬币试验的若干结果
实验者 抛硬币次数
出现正面次数
Байду номын сангаас频率
德莫根 蒲丰 费勒 皮尔逊 皮尔逊
2048 4040 10000 12000 24000
1061 2048 4979 6019 12012
样本点具有等可能性
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定义：设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由
n个样本点组成 , 事件A由k 个样本点组成 。
则定义事件A 的概率为：
A包含的样本点数 k . P ( A) n 包含的样本点数
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例2〔盒子模型〕把n个球随机放入N(n<N)个盒子中，
求：①指定的n个盒子各有一个球的概率；
②恰有n个盒子各有一个球的概率。
解：每个球有N 种放法， 共有N n种不同的放法.
件A的概率类似可求，只不过把S理解为长度或体积.
几何概型通常以长度、面积或体积等具体形式表现 出来. 与古典概型一样，样本点必须具有等可能性.
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例6〔会面问题〕甲、乙两人相约在晚7时到8时这 段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个， 超过20分钟则离去。设每人在7时到8时这段时间内 各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互 不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？ y ( x , y ) 0 x 60 , 0 y 60 .
0
10 15
25 30
(15 10) (30 25) 1 P ( A) 30 0 3 (5 0) (20 15) 1 P( B) 30 0 3
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称此概率为古典概率； 这种确定概率的方法称为古典方法。 即把求概率问题转化为计数〔统计频数〕。 注意：排列组合是计算古典概率的重要工具 。
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例1(1) 一批产品由70件正品和30件次品组成，
0.5181 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005
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频率的稳定性
试验次数

n1
频率

Ω 上随机投掷一点，该点落区域A内的概率是
S ( A) P ( A) S ( )
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