P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
解题思路
1、将事件定义为某个参数，如A,B,C； 2、确定总样本空间样本数与事件对应的样本数 技巧：可以采用概率的性质和事件的运算关系灵 活变换。
2. 样本点 ω—— 随机试验的每一个可能结果.
3. 样本空间(Ω) —— 随机试验的所有样本点构成的集合.
4. 两类样本空间： 离散样本空间 样本点的个数为有限个或可列个. 连续样本空间 样本点的个数为无限不可列个.
1.1.3 随机事件
1. 随机事件 —— 某些样本点组成的集合, Ω的子集，常用A、B、C…表示.
• 重复排列：nr
•
选排列： Pnr
n! n(n 1)......(n r 1) (n r)!
组合
•
组合：
Cnr
n r
n! r!(n r)!
Pnr r!
注意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
§1.1 随机事件及其运算 §1.2 概率的定义及其确定方法 §1.3 概率的性质 §1.4 条件概率 §1.5 独立性
§1.1 随机事件及其运算
1.1.1 随机现象：自然界中的有两类现象 1. 必然现象
• 每天早晨太阳从东方升起; • 水在标准大气压下加温到100oC沸腾;
2. 随机现象
• 掷一枚硬币，正面朝上？反面朝上？ • 一天内进入某超市的顾客数; • 某种型号电视机的寿命;
乘法原理
完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方 法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法， 则完成这件事共有 m1×m2×…×mn种不同的方法.
1.2.3 确定概率的频率方法
➢ 随机试验可大量重复进行. ➢ 进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数，
n( A) 称 fn ( A) n 为事件A的频率. ➢ 频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值). ➢ 用频率的稳定值作为该事件的概率.
概率论
第一章 随机事件与概率
概率论起源： 合理分配赌金问题
有一笔赌金， 甲乙两个人竞赌， 输赢的 概率都一样，都是1/2， 谁先能够赢累计达到6 盘，就获得这笔赌金。 但是一个特别的原因， 赌博突然终止了， 那个时候甲赢了5局， 乙赢 了2局， 问这笔赌金应该如何分配？
概率论的应用
第一章 随机事件与概率
A A不发生、对立事件 A的余集
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有 1. Ai互不相容； 2. A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
试用A、B、C 表示下列事件：
① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC
基本事件为有限个
每个基本事件出现的可能性相等
古典概型的计算：
难点：1确定样本点总数；
2计算时间A中包含的样本点数。
（用到排列组合+加法原理+乘法原理）
1.2.2 排列与组合公式
• 从 n 个元素中任取 r 个，求多少种取法.
• 排列讲次序，组合不讲次序.
• 全排列：Pn= n! • 0! = 1.
④ 至少有一个出现；A B C
⑤ 至多有一个出现；ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC
⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现；AB AC BC
§1.2 概率的定义及其确定方法
• 直观定义 —— 事件A 出现的可能性大小. • 统计定义 —— 事件A 在大量重复试验下
1.1.1 随机现象
• 随机现象：在一定的条件下，并不总出现相 同结果的现象称为随机现象.
• 特点：1. 结果不止一个; 2. 事先不知道哪一个会出现.
• 随机现象的统计规律性：在大量重复试验中， 随机现象的各种结果会表现出一定的规律性， 这种规律性称之为 统计规律性.
1.1.2 样本空间
1. 随机试验 (E) —— 对随机现象进行的实验与观察. 它具有三个特点：重复性、多样性、随机性.
相等
1.1.6 事件的运算

• 并： A B
A 与 B 至少有一发生
• 积： A B = AB A 与 B 同时发生
• 差： A B
A发生但 B不发生
• 逆： A
A 不发生
• 互斥 A B =Ω A 与 B 不能同时发生
事件运算的图示
AB
AB
AB
德莫根公式
A B A B; A B A B
n
n
UAi I Ai;
i 1
i 1
n
n
I U Ai Ai
i 1
i 1
记号 概率论
集合论
Ω 样本空间, 必然事件
空间
φ
不可能事件
空集
样本点
元素
AB A发生必然导致B发生 A是B的子集
AB=φ A与B互不相容 A与B无相同元素
AB A与B至少有一发生 A与B的并集
AB
A与B同时发生
A与B的交集
AB A发生且B不发生 A与B的差集
出现的频率的稳定值称为该事件的概率. • 古典定义；几何定义.
1.2.1 概率的公理化定义
• 非负性公理： P(A)0;
• 正则性公理： P(Ω)=1;
• 可列可加性公理：若A1, A2, ……, An ……
互不相容，则
U P
Ai
P( Ai )
i1 i1
概率基本性质
性质1-5
古典概型
1.2.4 确定概率的古典方法
古典概型 若一个随机试验(Ω,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有
限个，即Ω={ω1，ω2，…，ωn}； (2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是
相等的，即 P(ω1)=P(ω2)=…=P(ωn)。 则称这类随机试验的数学模型为古典概型。 则事件A的概率为:
2. 基本事件 —— Ω的单点集. 3. 必然事件 (Ω) 4. 不可能事件 (φ) —— 空集.
事件的表示
➢ 在试验中，A中某个样本点出现了， 就说 A 出现了、发生了，记为A.
➢ 维恩图 ( Venn ). ➢ 事件的三种表示
用语言、用集合、用随机变量.
1.1.5 事件间的关系
➢ 包含关系： A B, A 发生必然导致 B 发生.