重庆中考25题专题训练(及答案)1、(12分)如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ,与x 轴相交于A 、B ,点A 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,-1).(1)求抛物线的解析式;(2)点E 是线段AC 上一动点,过点E 作DE ⊥x 轴于点D ,连结DC ,当△DCE 的面积最大时,求点D 的坐标;(3)在直线BC 上是否存在一点P ,使△ACP 为等腰三角形,若存在,求点P 的坐标,若不存在,说明理由.解:(1)∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A (2,0)C(0,-1) ∴⎩⎨⎧-==++1022c c b解得: b =-21c =-1-------------------2分 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y --------3分(2)设点D 的坐标为(m ,0) (0<m <2)∴ OD =m ∴AD =2-m 由△AD E ∽△AOC 得,OCDEAO AD = --------------4分 ∴122DEm =- ∴DE =22m ------------------------------------5分∴△CDE 的面积=21×22m-×m备用图题图26=242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时,△CDE 的面积最大∴点D 的坐标为(1,0)--------------------------8分 (3)存在 由(1)知:二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得:x 1=2 x 2=-1 ∴点B 的坐标为(-1,0) C (0,-1)设直线BC 的解析式为:y =kx +b ∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得:k =-1 b =-1∴直线BC 的解析式为: y =-x -1在Rt △AOC 中,∠AOC=900OA=2 OC=1 由勾股定理得:AC=5 ∵点B(-1,0) 点C (0,-1) ∴OB=OC ∠BCO=450①当以点C 为顶点且PC=AC=5时, 设P(k , -k -1)过点P 作PH ⊥y 轴于H ∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210, k 2=-210 ∴P 1(210,-1210-) P 2(-210,1210-)---10分 ②以A 为顶点,即AC=AP=5 设P(k , -k -1)过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2-k ∣ GP=∣-k -1∣ 在Rt △APG 中 AG 2+PG 2=AP 2 (2-k )2+(-k -1)2=5 解得:k 1=1,k 2=0(舍)∴P 3(1, -2) ----------------------------------11分 ③以P 为顶点,PC=AP 设P(k , -k -1) 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q PL ⊥x 轴于点L∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形 PQ=CQ=k 由勾股定理知 CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=|-k -1| 在Rt △PLA 中(2k)2=(k -2)2+(k +1)2 解得:k =25∴P 4(25,-27) ------------------------12分2、(本题满分12分)已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A (1,0)、B (3,0)两点,交y 轴于点C ,其顶点为D .(1)求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴;(2)连接BC ,过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E .求证:四边形ODBE 是等腰梯形;(3)抛物线上是否存在点Q ,使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31?若存在,求点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.2、(1)求出:4-=b ,3=c ,抛物线的对称轴为:x=2(2) 抛物线的解析式为342+-=x x y ,易得C 点坐标为(0,3),D 点坐标为(2,-1) 设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ,易得F 点坐标为(2,0),连接OD ,DB ,BE∵∆OBC 是等腰直角三角形,∆DFB 也是等腰直角三角形,E 点坐标为(2,2), ∴∠BOE= ∠OBD=45 ∴OE ∥BD∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分 在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中,OD=5122222=+=+DF OF ,BE=5122222=+=+FB EF∴OD= BE∴四边形ODBE 是等腰梯形 ………………7分(3) 存在, ………………8分由题意得:29332121=⨯⨯=⋅=DE OB S ODBE 四边形 ………………9分 设点Q 坐标为(x ,y ), 由题意得:y y OB S OBQ 2321=⋅=三角形=23293131=⨯=ODBE S 四边形 ∴1±=y当y=1时,即1342=+-x x ,∴ 221+=x , 222-=x ,∴Q 点坐标为(2+2,1)或(2-2,1) ………………11分 当y=-1时,即1342-=+-x x , ∴x=2, ∴Q 点坐标为(2,-1)综上所述,抛物线上存在三点Q 1(2+2,1),Q 2 (2-2,1) ,Q 3(2,-1) 使得OBQ S 三角形=ODBE S 四边形31. ………………12分3、(11分)如图,已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -,0,抛物线的顶点为D ,过O 作射线OM AD ∥.过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ,B 在x 轴正半轴上,连结BC .EFQ 1 Q 3Q 2(1)求该抛物线的解析式;(2)若动点P 从点O 出发,以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动,设点P 运动的时间为()t s .问当t 为何值时,四边形DAOP 分别为平行四边形?直角梯形?等腰梯形? (3)若OC OB =,动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发,分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动,当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t ()s ,连接PQ ,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小?并求出最小值及此时PQ 的长. 解:(1)抛物线2(1)0)y a x a =-+≠经过点(20)A -,,093a a ∴=+=-························· 1分 ∴二次函数的解析式为:2y x =++ ············· 3分 (2)D为抛物线的顶点(1D ∴过D 作DN OB ⊥于N,则DN =3660AN AD DAO =∴==∴∠=,° ·············· 4分OM AD ∥①当AD OP =时,四边形DAOP 是平行四边形 66(s)OP t ∴=∴= ············· 5分 ②当DP OM ⊥时,四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ,2AO =,则1AH =(如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =)55(s)OP DH t ∴=== ·························· 6分 ③当PD OA =时,四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述:当6t =、5、4时,对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形. 7分(3)由(2)及已知,60COB OC OB OCB ∠==°,,△是等边三角形 则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<,,,过P 作PE OQ ⊥于E,则PE =···················· 8分116(62)222BCPQ S t ∴=⨯⨯⨯-⨯=2322t ⎫-+⎪⎝⎭··························· 9分 当32t =时,BCPQ S··················· 10分 ∴此时33393324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==,=,PQ ∴=== ··············· 11分4.(本小题满分13分)如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过P 作PM x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与OAC △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)在直线AC 上方的抛物线上有一点D ,使得DCA △的面积最大,求出点D 的坐标. 解:(1)该抛物线过点(02)C -,,∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-. 将(40)A ,,(10)B ,代入,得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩,解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-. ··············· (3分)(2)存在. ······························ (4分) 如图,设P 点的横坐标为m ,则P 点的纵坐标为215222m m -+-,当14m <<时,4AM m =-,215222PM m m =-+-.又90COA PMA ∠=∠=°, ∴①当21AM AO PM OC ==时, APM ACO △∽△,即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭.解得1224m m ==,(舍去),(21)P ∴,. ················ (6分) ②当12AM OC PM OA ==时,APM CAO △∽△,即2152(4)222m m m -=-+-. 解得14m =,25m =(均不合题意,舍去)∴当14m <<时,(21)P ,. ······················ (7分)类似地可求出当4m >时,(52)P -,. ·················· (8分) 当1m <时,(314)P --,.综上所述,符合条件的点P 为(21),或(52)-,或(314)--,. ········ (9分)(3)如图,设D 点的横坐标为(04)t t <<,则D 点的纵坐标为215222t t -+-. 过D 作y 轴的平行线交AC 于E . 由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-. ·············· (10分)E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭,.2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭. ············· (11分)22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△.∴当2t =时,DAC △面积最大.(21)D ∴,.5.如图,二次函数的图象经过点D(0,397),且顶点C 的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式;⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ,使PA+PD 最小,求出点P 的坐标;⑶在抛物线上是否存在点Q ,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.⑴设二次函数的解析式为:y=a(x-h)2+k∵顶点C 的横坐标为4,且过点(0,397)∴y=a(x-4)2+k k a +=16397 ………………①又∵对称轴为直线x=4,图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1,0),B(7,0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=93,k=3-∴二次函数的解析式为:y=93(x-4)2-3⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD ≥DB∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M∵PM ∥OD ,∴∠BPM=∠BDO ,又∠PBM=∠DBO ∴△BPM ∽△BDO∴BO BM DO PM = ∴3373397=⨯=PM ∴点P 的坐标为(4,33)⑶由⑴知点C(4,3-),又∵AM=3,∴在Rt △AMC 中,cot ∠ACM=33,∴∠ACM=60o,∵AC=BC ,∴∠ACB=120o①当点Q在x轴上方时,过Q作QN⊥x轴于N如果AB=BQ,由△ABC∽△ABQ有BQ=6,∠ABQ=120o,则∠QBN=60o∴QN=33,BN=3,ON=10,此时点Q(10,33),如果AB=AQ,由对称性知Q(-2,33)②当点Q在x轴下方时,△QAB就是△ACB,此时点Q的坐标是(4,3-),经检验,点(10,33)都在抛物线上3)与(-2,3综上所述,存在这样的点Q,使△QAB∽△ABC点Q的坐标为(10,33)或(4,33)或(-2,3-).6、(12分) 如图,抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,-3),设抛物线的顶点为D.(1)求该抛物线的解析式与顶点D的坐标;(2)以B、C、D为顶点的三角形是直角三角形吗?为什么?(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2,由抛物线与y 轴交于点C (0,-3),可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y . ………………………1分把A (-1,0)、B (3,0)代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2-2x -3. ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明:只要学生求对2,1-==b a ,不写“抛物线的解析式为y = x 2-2x -3”不扣分. (2)以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下:过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中,OB=3,OC=3,∴ 182=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中,DF=1,CF=OF-OC=4-3=1,∴ 22=CD . …………………………7分 在Rt △BDE 中,DE=4,BE=OB-OE=3-1=2,∴ 202=BD . …………………………8分∴ 222BD CD BC =+, 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 (3)连接AC ,可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ,得符合条件的点为O (0,0). ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1,可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ,求得符合条件的点为)31,0(1P . …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2,可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD , 求得符合条件的点为P 2(9,0). …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个:O (0,0),)31,0(1P ,P 2(9,0).7、如图,抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A (-1,0),B (1,0),与y 轴交于点C .(1)求抛物线的解析式;(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ,求四边形ACBD 的面积;(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MN ⊥x 轴于点N ,使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似?若存在,则求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)解:(1)把A (1,0)- B (1,0)代入21y ax bx =++得:1010a b a b -+=⎧⎨++=⎩解得:10a b =-⎧⎨=⎩ 21y x ∴=-+………………………………………………………………………3分(2)令0x =,得1y = ∴()0,1C ……………………………………………4分∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45 ∵BD ∥CA , ∴∠AB D=∠BA C 45=︒过点D 作DE ⊥x 轴于E ,则∆BDE 为等腰直角三角形 令OE k = ()0k >,则1DE k =+ ∴(),1D k k --- ∵点D 在抛物线21y x ∴=-+上 ∴ ()211k k --=--+解得12k =,21k =-(不合题意,舍去) ()2,3D -- ∴DE=3(说明:先求出直线BD 的解析式,再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可) ∴四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯=………………………………7分 (说明:也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4)(3)存在这样的点M ……………………………………………………………………8分∵∠ABC=∠ABD=45 ∴∠DBC=90 ∵MN ⊥x 轴于点N , ∴∠ANM=∠DBC =90 在Rt △BOC 中,OB=OC=1 有2在Rt △DBE 中,BE=DE=3 有BD=32设M 点的横坐标为m ,则M ()2,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时,则1m <- (ⅰ) 当∆A MN ∽∆CDB 时,有AN MNBC BD=∵21,1AN m MN m =--=-即 2232=解得:1m =-(舍去) 22m =- 则()2,3M --(ⅱ) 当∆AMN ∽∆DCB 时,有AN MNBD BC=即211322m m ---=解得11m =-(舍去) 223m =(舍去)…………10分② 点M 在y 轴右侧时,则1m > (ⅰ) 当∆AMN ∽∆DCB 时,有AN MNBD BC=∵21,1AN m MN m =+=-∴ 211322m m +-=解得11m =-(舍去) 243m =∴47,39M ⎛⎫-⎪⎝⎭ (ⅱ) 当∆A MN ∽∆CDB 时,有AN MNBC BD=即 211232m m +-=解得:11m =-(舍去) 24m = ∴()4,15M -∴M 点的坐标为()()472,3,,,4,1539⎛⎫---- ⎪⎝⎭…………………………12分8、在直角坐标系xOy 中,设点A (0,t ),点Q (t ,b )。