常系数线性微分方程复习
一、常系数线性微分方程的形式和名词解释
1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：
)
(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L
其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数
2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。

3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。

4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。

初值问题的解是即满足
微分方程又满足初始条件的特解。

二、常系数线性齐次微分方程的解法
01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L
其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零
1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，
k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。

011
1=++++−−n n n n a a a λλ
λL
2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。

3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形
式不同，解的形式也不同）。

(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。

方程的通解为 t n t t
c c c y n 21e e e
21λλλ+++=L
例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解
特征方程
0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ
方程的通解 t t
c c y −+=e e
231
(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。

方程的通解为
t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L
例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解
特征方程0432
3
=−+λλ 求出特征方程的根21
321−===λλλ
方程的通解为 t t
t t c c c y 23221e e
e −−++=
(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）
a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。

方程的通解为 t n t t t
c c t c t c y n 3e e sin e cos e
321λλ++++=L ββαα
例 求齐次微分方程05832=−′+′′+′′′y y y y 的通解
特征方程058322
3
=−++λλλ
求出特征方程的根2j 12/1321±−===λλλ
方程的通解为 t c t c c y t t t 2sin e 2cos e e
322
/1−−++=
b. 存在2对重复的复数根 a ± j β ，n -4个互异的实根。

方程的通解为
t
n t
t t t t c c t t c t t c t c t c y n 5e
e
sin e cos e sin e cos e 54321λλ++++++=L ββββαααα
例 求齐次微分方程的通解04444)2()3()4()
5(=+′++++y y y y y y
特征方程
0)2)(1(0
4444222
345=++=+++++λλλλλλλ
求出特征方程的根 （二重根）2j 1321±==−=λλλ
方程的通解为
)2sin 2cos (2sin 2cos e 54321t c t c t t c t c c y t ++++=−
三、常系数线性非齐次微分方程的解法
)
(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L
其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数 解的形式为 )()(t Y t y y +=
其中：
0)(1)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y t y n n n n L 性微分方程是方程所对应的齐次线
的通解。

的任一特解。

是非齐次线性微分方程)(t Y
求解步骤：
第1步：求方程对应的常系数线性齐次微分方程的通解（称作自由分量）； 第2步：求常系数线性非齐次微分方程的任一个特解（称作强制分量）； 第3步：将自由分量与强制分量相加，得到待求微分方程方程的一般解；
第4步：根据初始条件确定一般解中的待定系数，从而得到方程初值问题的解（最终解答）。

求常系数线性非齐次微分方程的一个特解（强制分量），可用待定系数法。

待定系数法：
根据方程等式右端自由项f (t )的函数类型，猜想它的特解是何种函数类型（包括常数），然后将其代入方程来确定所猜的函数中的系数。

例 求方程66)2()3(2
+−=−′−+′′−t t y y t y t 的一个特解。

通过观察可知，c bt at y ++=2
可能是上述方程的一个特解，将其代入方程得
6
6)()2)(2()2)(3(22+−=++−+−+−t t c bt at b at t a t 66)26(622+−=−−+−t t c b a at at
b c a 2,1−==⇒
取 b = 0，则 c = 0，于是 y = t 2 是方程的一个特解
常见函数 f (t ) 所对应的特解函数类型
f (t )（自由项） 特解的函数类型 C （常数） C 1（常数） at
e 特征根）≠α(e at
C at sin ，at cos
特征根）
（≠±+αj at
C at C cos sin 21
k t 11
21+−++++k k k k
C t C t
C t C L
求特解也可用常数变易法，可参考线性微分方程的相关资料。

在求解电路问题时，电路的稳态响应是描述该电路动态响应所对应的微分方程的一个特解。

例 已知：i L (0)=2A ，u C (0)=0，R =50Ω ，L =0.5H ， C =100μF 。

求：i L (t ) 。

解
以 i L 为变量列出微分方程
442
2
102102d d 200d d ×=×++L L
L i t i t
i (1) 求通解(自由分量)
020*******=++P λ特征方程
特征根 λ = -100 ± j 100
)100sin(100cos 100sin )(10010021001θ+=+=−−−t Ke t e C t e C t i t t t L 通解
(2) 求特解（强制分量，稳态解）A 1=L i (3) 全解
)100sin(1)(100θ++=−t Ke t i t L 全解
(4) 由初值定积分常数
i L (0+
)=2A , u C (0+
)=0 （已知）
0)0(1)0(1d d 0===++
+C L
L u L u L t i )100cos(100)100sin(100d d 100100θθ+++−=−−t Ke t Ke t
i t t L
⎪⎩⎪⎨⎧=+−→==+→=++ 0cos 100sin 1000
2sin 12)0(0θθθK K dt
di K i L
L o 452==θK 得
0A )45100sin(21)(100≥++=∴−t t e t i t L o
50 V
u C。