常广东广州 华南师范大学（郑海珍20052201323 李璇20052201333）『摘要』：常系数非齐次线性微分方程是微分方程中典型的一类，它在自然科学领域里有比较广泛的应用。

本文收集并归纳了求非齐次线性微分方程特解的几种方法，包括常数变易法、化为高维线性微分方程组的方法、代换降阶法、比较系数法，以及在比较系数法的基础上推广而出的简易待定系数法。

以求更多地收集并掌握求非齐次线性微分方程特解的方法。

『关键词』：常系数非齐次线性微分方程； 特解； 通解；『正文』：常系数非齐次线性微分方程形如：)()2(2)1(1)(t f x p x p x p x n n n n =++++-- (1)的求解步骤一般是：先求方程(1)对应齐次方程的基本解组)(),(),(21t x t x t x n ，再设法求出方程（1）的一个特解)(~t x ，则方程（1）的通解易得为),(~)()(1t x t x c t x ni i i +=∑=n i c i ,,2,1, =为任意常数。

一般来说，求齐次线性微分方程的基本解组比较容易，问题在于怎样求解方程(1)的特解)(~t x 。

下面将一一介绍几种求方程(1)的特解的方法。

首先给出本文常用符号：n n n p p F +++=- )1(1)()(λλλ为方程（1）的特征方程。

k λλλ,,,21 是特征根，其对应的重数分别为k u u u ,,21。

)(,),(),(21t x t x t x n 是方程（1）对应齐方程的基本解组。

一、 常数变易法 [ 1 ]可设方程（1）的特解形如：)()()()()()()(~2211t x t c t x t c t x t c t x n n +++= ………………… （1.1）其中n i c i ,,2,1, =是待定常函数。

将其代入方程（1），并附加n-1个条件，便可得方程组（*）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='++'+'='++'+'=''++''+''='++'+'------)()()()(0)()()(0)()()(0)()()()1(2)1(21)1(1)2(2)2(21)2(122112211t f t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x n n n n n n n n n n n n n n………………（*）解方程组（*）得到)(,),(),(21t c t c t c n ''' 的表达式，对它们分别进行积分，从而得n i c i ,,2,1, =，再将它们代入（1.1）式中，继而得到了方程（1）的一个特解)(~t x 。

此法对于自由项)(t f 的形式没有限制，故使用范围较广。

但求解的工作量大。

二、 将方程（1）化成为高维线性方程组的方法 [ 1 ]令 ,,,,)1(21-='==n nxx x x x x 则,,,,)1(13221n n n x x x x x x x x x =='=''='='='-- )()(121)2(2)1(1)(t f x p x p x p t f x p x p x p x x n n n n n n n n+----=+----=='---这时可写⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡'''=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n x x x x x 2121x ,x x ，则方程（1）等价于⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----='--f(t)00x x 12101000010p p p p n n n，记⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=--)(00)(,01000010121t f p p p p n n nt F A ，写成F (t)Ax +='x ………………（2.1）那么，现在要求方程（1）的特解，只要知道方程组（2.1）所对应的线形方程组的基解矩阵)(t Φ及其特解)(t ϕ就可以求得。

若方程（1）满足0)(,,0)(0(0)1(00=='=-t xt x ，）t x n ，则其特解可由常数变易公式[][]ds s f s x s x s x W s x s x s x W t x t nk tt n n k k )()(,),(),()(,),(),()()(121210∑⎰=⎭⎬⎫⎩⎨⎧= ϕ给出。

其中[])(,),(),(21s x s x s x W n 是)(),(),(21s x s x s x n 的朗斯基行列式，[][])(,),(),()(,),(),(2121s x s x s x W s x s x s x W n n k 是在中以第k 列代入()T1,0,,0,0 后得到的行列式。

三．比较系数法 [ 1 ]对于常系数非线性方程（1），我们更常用的是比较系数法，它是把求解微分方程的问题转化成某代数问题，在自由项为[]t n t m e t t t p t f e t p t f ∂+==ββλsin )(p t cos )()()()(s 或，（其中)(),(),(t p t p t p s n m 分别为m 次，n 次，s 次多项式。

βαλ,,为实常数）时，可预见确定特解x ~的形式，即分别令)((,)(~t Q e t Q t x m t mk λ=为一待定m 次多项式，k 是方程（1）的特征方程有根λ时λ的次数）或[]t m m k e t t Q t t Q t x αββsin )(cos )(~)2()1(+=，（其中[])(),(.,max )2()1(t Q t Q s n m m m =位两个代定m 次项式，k 为方程含根t βα±的次数。

然后将其代入方程（1），并利用比较左右两边t 同次幂系数的方法确定代定系数多项式。

再根据线性微分方程解的结构定理就可求方程的通解。

四、简化待定系数法 [ 2 ]比较系数法只用了代数方法，不经过积分，相对于算子法、常数变易法来说具有易掌握，有好记忆的优点。

但同学们在解题过程中也不难发现，比较系数法的计算量比较大，尤其当方程为高阶时，算起来相当麻烦，稍不小心就很容易出错。

下面介绍第四种方法——简化待定系数法，从而改进了原待定系数法。

现作如下介绍： 定理4.1 方程t m n n n n e t p x p x p x p x λ)()2(2)1(1)(=++++-- （2）其中λ,,,,21n p p p 为常数，)(t p m 为m 次多项式。

则可设方程（2）的一个特解t t k mm k m k e t Q e t b t b t b x λλ)()(~110=+++=-++ （4.2）其中).2,1,0(m i b i =是待定系数，由恒等式)()()(1)()(t p t Q t F j m j j m k =∑+=kj !……………………（4.3） 来确定，)(t F 为方程（2）的特征方程，k 为由特征方程0)(=λF 的根λ的重数（λ是单根时k=1，λ不是特征根时k=0）证明：设t t k mm k m k e t Q e t b t b t b x λλ)()(110=+++=-++ 为方程 （2）的解，则))()((t Q t Q e x t'+='λλ ))()(2)((2t Q t Q t Q e x t ''+'+='λλλ))()()()(()1(3212111)1(t Q t Q C t Q C t Q e x n n n n n t n ------++''+'+=λλλλ))())()()()(()()1(1221111)(t Q t QC t Q C t Q C t Q e x n n n nn n n n n t n +++''+'+=------λλλλλ将)(,,,n x x x x '''代入方程（2）的左端x p x p x p x n n n n ++++-- )2(2)1(1)(tn t n t n n n n n t n n n n n n n n n t e t Q p t Q t Q e p t Q t Q t Q e p t Q t Q C t Q e p t Q t QC t Q C t Q C t Q e λλλλλλλλλλλλλλ)())()(())()(2)(())()()(())())()()()((122)1(21111)()1(1221111+'++''+'+++++'++++''+'+=------------ tm n j t n n te t p j F t j Q j e F t Q n F t Q F t Q F t Q e λλλλλλλλ)())(())((!1)]()(!1)()(!21)()(!11)()([0)()(==++''+''+=∑=于是得到)()()(1)()(t p t Q t F j m j j m=∑=0j !……（4.4） 其中1)(!1),()(F 01,)()((0)2211==++++=--λλλλλλλn n n n nF n F p p p F ！记由于λ是F （λ）的k 重特征根，可得0)(,0)()()()()()1(≠===''='=-λλλλλk k F F F F F 而于是由（4.4）得（4.5）。

反之，如果对于方程（1）恒等式（4.5）成立，那么函数t e t Q x λ)(=是方程（1）当是它相应特征方程的k 重根时的特解。

当λ时，0)(a t p m =是特征方程的k 重根，则方程（1）有形如tk k e t F a x λλ)(~)(0=。

特例 对于方程t e a x p x p x λ021=+'+''<1>当λ不是特征方程时，有特解te F a x λλ)(~=<2>当λ是特征方程的单根时，有特解t te F a x λλ)(~'=<3>当λ时特征方程的重根时，有特解t e t F a x λλ20)(~''=当10)(a t a t p m +=，λ是特征方程的k 重根，则方程（1）有特解)()(,)()1(,)(~)()1(011)(00110λλλλk k k tkk F F b a b F k a b e t b tb x ++-=+=+= 而形如tn n n n e t t p t t p x p x p x p x λββ)sin )(cos )((21)2(2)1(1)(+=++++-- （)(),(21t p t p 分别为m 次和n 次多项式，β,∂为常数），则可利用Euler 公式化为指数形式，便得上述结果仍有效。