《圆周角定理》（第1课时）教案拓展版一、教学目标知识与技能1．理解圆周角的概念．2．掌握圆周角与圆心角的关系．3．掌握同弧或等弧所对的圆周角相等．数学思考与问题解决1．通过观察、猜想、验证、推理，培养学生探索数学问题的能力和方法．2．学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般问题的方法，体会分类的数学思想．情感、态度1．通过定理证明的过程，体验数学活动的探索性和创造性，感受证明的严谨性．2．通过小组活动讨论，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，培养团队意识．3．体验数学与实际生活的紧密联系．二、教学重点、难点重点：圆周角的概念及圆周角定理．难点：圆周角定理的证明．三、教学过程设计（一）复习引入1．圆心角的概念是什么？2．前面我们学习了一个反映圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、回顾前面所学的内容．答：1．顶点在圆心的角叫做圆心角；2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也都分别相等．设计意图：通过复习前面学过的知识，为新内容的学习做铺垫．（二）探究新知想一想在射门游戏中（如图），球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC 的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ．观察图中的∠ABC ，∠ADC ，∠AEC ，你能发现它们有什么共同特征吗？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，最后教师引导学生得出圆周角的概念． 答：发现：（1）它们的顶点都在圆上；（2）两边分别与圆有一个交点． 我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．设计意图：让学生通过观察、思考、合作交流，探究得出圆周角的概念． 做一做 如图，∠AOB =80°．（1）请你画出几个︵AB 所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角与圆心角∠AOB 的大小有什么关系？你是怎样发现的？与同伴进行交流．师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结论． 答：（1）能画出无数个，如下图所示．通过度量可以发现：∠ADB ，∠ACB ，∠AEB 这几个圆周角相等．ECD（2）通过度量可以发现：这些圆周角都等于圆心角∠AOB 的一半．证明：如下图所示，在以点A ，B 为端点的优弧上任取一点C ，连接AC ，OC ，BC ，延长CO 交︵AB 于点M ．∵OB =OC ，∴∠1=∠2．又∵OA =OC ，∴∠4=∠5．又∵∠3+∠6=∠1+∠2+∠4+∠5，∴∠3+∠6=2(∠1+∠5)，即∠AOB =2∠ACB ． ∴∠ACB =12∠AOB =12×80°=40°．结论：这样的圆周角有许多个，只要在︵ACB 上任取一点且与点A ，B 分别相连即可得到，这些角都相等，且等于∠AOB 的一半．设计意图：这里把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．议一议 在下图中，改变∠AOB 的度数，你得到的结论还成立吗？怎样证明你的猜想？师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，教师引导学生得出结果． 答：改变∠AOB 的度数，上面的结论仍然成立．证明过程如下： 已知：如图，∠C 是︵AB 所对的圆周角，∠AOB 是︵AB 所对的圆心角． 求证：∠C =12∠AOB ． 分析：根据圆周角和圆心的位置关系，分三种情况讨论： （1）圆心O 在∠C 的一条边上，如下图（1）； （2）圆心O 在∠C 的内部，如下图（2）； （3）圆心O 在∠C 的外部，如下图（3）．在三种位置关系中，我们选择（1）给出证明，其他情况可以转化为（1）的情况进行证明．证明：（1）圆心O 在∠C 的一条边上，如图（1）．∵∠AOB 是△AOC 的外角，∴∠AOB =∠A +∠C ．∵OA =OC ，∴∠A =∠C ． ∴∠AOB =2∠C ，即∠C =12∠AOB ． 情况（2）和情况（3）可以转化为情况（1）来证明．圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．设计意图：向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法． 想一想 在本节课开始提出的射门游戏中，当球员在B ，D ，E 处射门时，所形成的三个张角∠ABC ，∠ADC ，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？师生活动：教师出示问题，学生独立完成．答：∠ABC =∠ADC =∠AEC ；能，因为∠ABC ，∠ADC 和∠AEC 都是同弧（︵AC ）所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于︵AC 所对圆心角度数的一半，所以这几个圆周角相等．结论：推论 同弧或等弧所对的圆周角相等．设计意图：利用圆周角定理解决本节课开始提出的问题并得出圆周角定理的推论，提高学生分析问题、解决问题的能力及归纳总结能力．（三）典例精析例 如图，在⊙O 中，∠ACB =∠BDC =60°，AC =．（1）求∠BAC 的度数；（2）求⊙O 的周长．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程． 解：（1）∵︵BC ＝︵BC ，∴∠BAC =∠BDC =60°． （2）∵∠BAC =∠ACB =60°，∴∠ABC =60°． ∴△ABC 是等边三角形．连接OC ，OA ，作OE ⊥AC 于点E ． ∵OA =OC ，OE ⊥AC ，∴CE =EA ． ∴AE =AC． ∵∠AOC =2∠ABC =120°，OE ⊥AC ， ∴∠AOE =60°，∠OAE =30°． ∴OE =OA ． 在Rt △AOE 中，由勾股定理，得，即．∴OA =2 cm ．∴⊙O 的周长为4π cm ．设计意图：让学生加深对本节课所学知识的理解，培养学生的应用意识． （四）课堂练习1．下列图形中的角为圆周角的是（ ）．2．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，点D 在︵AC 上，且OD ⊥AC ．已知∠A =36°，∠C =60°，则∠BOD 的度数为（ ）．1212222OA OE AE -=2334OA =A ．132°B ．144°C ．156°D ．168° 师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题． 参考答案 1．C ．2．C ．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． （五）拓展例题例 如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，并且点C 是优弧AmB 上一点（点C 不与A ，B 重合）．设∠OAB =α，∠C =β．（1）当α=35°时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．师生活动：教师出示例题，分析、引导，学生完成解题过程． 解：（1）如图，连接OB ，则OA =OB ．∴∠OBA =∠OAB =35°． ∴∠AOB =180°-∠OAB -∠OBA =110°． ∴β=∠C =12∠AOB =55°．（2）α与β之间的关系是α+β=90°． 证法一：如图，连接OB ，则OA =OB ．∴∠OBA=∠OAB=α．∴∠AOB=180°-2α．∴β=∠C=12∠AOB=12(180°-2α)=90°-α．∴α+β=90°．证法二：如图，连接OB，则OA=OB．∴∠AOB=2∠C=2β．过点O作OD⊥AB于点D，则OD平分∠AOB．∴∠AOD=12∠AOB=β．在Rt△AOD中，∵∠OAD+∠AOD=90°，∴α+β=90°．设计意图：培养学生综合运用所学知识解决问题的能力．（六）拓展练习如图，A，B，C三点都在⊙O上，点D是AB延长线上一点，若∠AOC=140°，则∠CBD 的度数是_______．师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题．参考答案70°．设计意图：让学生进一步巩固所学知识．（七）课堂小结1．圆周角的定义是什么？答：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2．圆周角定理的内容是什么？答：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．3．圆周角定理的推论的内容是什么？答：同弧或等弧所对的圆周角相等．师生活动：教师出示问题，引导学生归纳总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．（八）布置作业1．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系？为什么？2．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠C=100°，求∠BOD和∠A的度数．参考答案1．∠ACB=2∠BAC．2．∠BOD=160°，∠A=80°．四、课堂检测设计1．下列说法正确的是（）．A．顶点在圆上的角是圆周角B．两边都和圆相交的角是圆周角C．圆心角是圆周角的2倍D．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半2．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA．若∠D=50°，则∠C=（）．A．50°B．40°C．30°D．25°3．如图，以原点O为圆心的圆交x轴于A，B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点．若∠DAB=20°，则∠OCD=__________．4．如图，正方形ABCD内接于⊙O，P是劣弧AD上任意一点，则∠ABP+∠DCP=________．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°．求∠CEB的度数．参考答案1．D．2．D．3．65°．4．45°．5．解：连接BD，∵∠AOB是平角，∴∠ADB=90°．∵∠ADC=50°，∴∠EDB=90°-50°=40°．又∵∠ABD=∠ACD=60°，∴∠CEB=∠ABD +∠EDB=60°+40°=100°．。