物体碰撞中的动量守恒碰撞1．碰撞指的是物体间相互作用持续时间很短，而物体间相互作用力很大的现象．在碰撞现象中，一般都满足内力远大于外力，故可以用动量守恒定律处理碰撞问题．按碰撞前后物体的动量是否在一条直线上有正碰和斜碰之分，中学物理只研究正碰的情况．2．一般的碰撞过程中，系统的总动能要有所减少，若总动能的损失很小，可以略去不计，这种碰憧叫做弹性碰撞．其特点是物体在碰撞过程中发生的形变完全恢复，不存在势能的储存，物体系统碰撞前后的总动能相等。
若两物体碰后粘合在一起，这种碰撞动能损失最多，叫做完全非弹性碰撞．其特点是发生的形变不恢复，相碰后两物体不分开，且以同一速度运动，机械能损失显著。
在碰撞的一般情况下系统动能都不会增加（有其他形式的能转化为机械能的除外，如爆炸过程），这也常是判断一些结论是否成立的依据．3．弹性碰撞题目中出现：“碰撞过程中机械能不损失”．这实际就是弹性碰撞． 设两小球质量分别为m 1、m 2，碰撞前后速度为v 1、v 2、v 1/、v 2/，碰撞过程无机械能损失，求碰后二者的速度． 根据动量守恒 m 1 v 1＋m 2 v 2＝m 1 v 1/＋m 2 v 2/ ……①根据机械能守恒 ½m 1 v 12十½m 2v 22= ½m 1 v 1/2十½m 2 v 2/2 ……②由①②得v 1/= ()21221212m m v m v m m ++-，v 2/= ()21112122m m v m v m m ++-仔细观察v 1/、v 2/结果很容易记忆, 当v 2=0时v 1/= ()21121m m v m m +-，v 2/= 21112m m v m + ①当v 2=0时；m 1=m 2 时v 1/=0，v 2/=v 1 这就是我们经常说的交换速度、动量和能量．②m 1＞＞m 2，v /1=v 1，v 2/=2v 1．碰后m 1几乎未变，仍按原来速度运动，质量小的物体将以m 1的速度的两倍向前运动。
③m 1《m 2，v /l =一v 1，v 2/=0． 碰后m 1被按原来速率弹回，m 2几乎未动。
【例1】试说明完全非弹性碰撞中机械能损失最多．解析：前面已经说过，碰后二者一起以共同速度运动的碰撞为完全非弹性碰撞． 设两物体质量分别为m 1、m 2，速度碰前v 1、v 2，碰后v 1/、v 2/由动量守恒：m 1v 1＋m 2v 2＝m 1v 1/十m 2v 2/……①损失机械能：Q=½m 1v 12＋½m 2v 22－½ m 1 v 1/2－½ m 2 v 2/2 ……②由①得 m 1v 1＋m 2v 1－m 2v 1＋m 2v 2＝m 1v 1/十m 2v 1/－m 2v 1/＋m 2v 2/写成（m 1＋m 2）v 1－m 2（v 1－v 2）＝（m 1十m 2）v 1/－m 2（v 1/－v 2/）即（m 1＋m 2）（v 1 －v 1/）= m 2[（v 1－v 2）－（v 1/－v 2/）]于是（v 1 －v 1/）= m 2[（v 1－v 2）－（v 1/－v 2/）]/ （m 1＋m 2）同理由①得m 1v 1＋m 1v 2－m 1v 2＋m 2v 2＝m 1v 1/十m 1v 2/－m 1v 2/＋m 2v 2/写成（m 1＋m 2）v 2＋m 1（v 1－v 2）＝（m 1十m 2）v 2/＋m 1（v 1/－v 2/）（m 1＋m 2）(v 2 －v 2/）= m 1[（v 1/－v 2/）－（v 1－v 2）]（v 2 －v 2/）= m 1[（v 1/－v 2/）－（v 1－v 2）]/ （m 1＋m 2）代入②得Q=½m 1v 12＋½m 2v 22－½ m 1v 1/2－½ m 2v 2/2=½m 1(v 12－v 1/2)＋½m 2(v 22－v 2/2） =½m 1(v 1－v 1/) (v 1＋v 1/)＋½m 2(v 2－v 2/）(v 2＋v 2/）=½m 1(v 1＋v 1/) m 2[(v 1－v 2)－(v 1/－v 2/)]/(m 1＋m 2）＋½m 2(v 2＋v 2/）m 1[（v 1/－v 2/）－（v 1－v 2）]/(m 1＋m 2）=[½m 1 m 2/(m 1＋m 2)][ v 12－v 1v 2＋v 1v 1/－v 2v 1/－v 1v 1/＋v 1v 2/－v 1/2＋v 1/v 2/＋v 2v 1/－v 2v 2/－v 1v 2＋v 22＋v 1/v 2/－v 2/2－v 1v 2/＋v 2v 2/]=[½m 1 m 2/(m 1＋m 2)][ v 12－v 1v 2－v 1v 2＋v 22－v 1/2＋v 1/v 2/＋v 1/v 2/－v 2/2]= [½m 1 m 2/(m 1＋m 2)][(v 1－v 2)2－(v 1/－v 2/)2]()()()22//121212122m m v v v v m m ⎡⎤=---⎣⎦+……③ 由③式可以看出:当v 1/= v 2/时，损失的机械能最多．【例2】如图所示，一轻质弹簧两端各连接一质量均为m 的滑块A 和B ，两滑块都置于光滑水平面上．今有质量为m/4的子弹以水平速度V 射入A 中不再穿出，试分析滑块B 何时具有最大动能．其值为多少？解析：对子弹和滑决A 根据动量守恒定律 mv/4=5mv //4所以v /=v/5。
当弹簧被压缩后又恢复原长时，B 的速度最大，具有的动能也最大，此过程动能与动量都守恒/5544A B mv mv mv =- /2221515124242A B mv mv mv ⨯=⨯+⨯ 由①②得：v B =2v/9 所以 B 的动能为E kB =2mv 2/81答案：弹簧被压缩又恢复原长时；E kB =2mv 2/81【例3】甲物体以动量P 1与静止在光滑水平面上的乙物体对心正碰，碰后乙物体的动量为P 2，则P 2和P 1的关系可能是（ ）A ．P 2＜P 1；B 、P 2= P 1C ． P 2＞P 1；D ．以上答案都有可能解析：此题隐含着碰撞的多种过程．若甲击穿乙物体或甲、乙两物体粘在一起匀速前进时有P 2＜P 1；若甲乙速度交换时有P 2= P 1；若甲被弹回时有P 2＞P 1；故四个答案都是可能的．而后三个答案往往漏选答案：ABCD【例4】如图所示，在支架的圆孔上放着一个质量为M 的木球，一质量为m 的子弹以速度v 0从下面竖直向上击中子弹并穿出，使木球向上跳起高度为h ，求子弹穿过木球后上升的高度。
【解析】把木球和子弹作为一个系统研究，在子弹和木球相互作用时间内，木球和子弹要受到重力作用，显然不符合动量守恒的条件。
但由于子弹和木球间的作用力(内力)远大于它们的重力(外力)，可以忽略重力作用而认为系统动量守恒。
设子弹刚穿过木球时，子弹的速度为v 1，木球的速度为v 2，竖直向上为正方向。
对系统，据动量守恒：mv=mv 1＋Mv 2……①木球获得速度v后，上升的过程机械能守恒：½Mv 22=Mgh……②两式联立得1v =子弹射穿木球后的上升过程机械能守恒：½mv 12=mgH ，将v 1代入得子弹上升的最大高度： (2022mv H gm -=【例5】有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计）质量分别为M 和m ，半径分别为R 和r ，两板之间用一根长为0．4m 的轻绳相连结．开始时，两板水平放置并叠合在一起，静止于高度为0．2m 处如图（a ）所示．然后自由下落到一固定支架C 上，支架上有一半径为R /（r ＜R /＜R ＝的圆孔，圆孔与两薄板中心在圆板中心轴线上，木板与支架发生没有机械能损失的碰撞，碰撞后，两板即分离，直到轻绳绷紧．在轻绳绷紧瞬间，两物体具有共同速度V ，如图4一22（b ）所示．问：（l ）若M=m ，则v 值为多大．（2）若M/m=k ，试讨论v 的方向与k 值间的关系．解析：M 、m 与固定支架碰撞前的自由下落，所以v 02=2ghv 0=20102⋅⨯⨯=2 m ／s碰撞后，M 原速返回向上作初达v 0的匀减速运动，m 作初速为v 0向下匀加速运动．设绳刚要绷直时，M 的速度为v 1，上升的高度为h1，m 的速度为v 2，下降的高度为h 2，经历时间为t ，则：v 1＝v 0一gt …………① v 12＝v 02一2g h 1 ……② v 2＝v 0＋gt………③ v 22＝v 02一2g h 2 …………④ 又h l ＋h 2=0．4…………⑤由上五式解得：v 2=3 m/s ， v 1=1m/s在绳绷紧瞬间，时间极短，重力的冲量忽略不计，则M 与m 组成的系统动量守恒．设向下为正．则mv 2－Mv 1=（M ＋m ）v ， 即 v=mM Mv mv +-12 （1）当M ＝m 时，v ＝1m/s （2）当M/m ＝k 时．V=kk +-13 讨论：k ＜3时，v ＞0两板向下运动， k ＞3时，v ＜0 两板向上运动， k ＝3时，v ＝0两板瞬时静止【例6】如图所示，一辆质量M=2 kg 的平板车左端放有质量m=3 kg 的小滑块，滑块与平板车之间的动摩擦因数µ=0.4，开始时平板车和滑块共同以v 0=2m/s 的速度在光滑水平面上向右运动，并与竖直墙壁发生碰撞，设碰撞时间极短且碰撞后平板车速度大小保持不变，但方向与原来相反．平板车足够长，以至滑块不会滑到平板车右端．（取g ＝10 m/s 2）求：（1)平板车第一次与墙壁碰撞后向左运动的最大距离；(2）平板车第二次与墙壁碰撞前瞬间的速度v 2；(3）若滑块始终不会滑到平板车右端，平板车至少多长．解析:平板车第一次与竖直墙壁发生碰撞后速度大小保持不变，但方向与原来相反．在此过程中，由于时间极短，故滑块m 的速度与其在车上的位置均未发生变化．此外，由于相对运动，滑块m 和平板车间将产生摩擦力，两者均做匀减速运动，由于平板车质量小，故其速度减为0时，滑块m 仍具有向右的不为0的速度，此时起，滑块m 继续减速，而平板车反向加速一段时间后，滑块M 和平板车将达到共同速度，一起向右运动，与竖直墙壁发生第二次碰撞……（1）设平板车第一次碰墙壁后，向左移动s ，速度减为0.（由于系统总动量向右，平板车速度为0时，滑块还具有向右的速度）．根据动能定理有：一½µmgs 1=0一½Mv 02 代入数据得：2201221220.43103Mv s m mg μ⨯===⨯⨯⨯ (2)假如平板车在第二次碰墙前还未和滑块相对静止，那么其速度的大小肯定还是 2 m/s ，滑块的速度则大于2 m/s ，方向均向右，这显然不符合动量守恒定律．所以平板车在第二次碰墙前肯定已和滑块具有共同速度v 2.此即平板车碰墙瞬间的速度mv 0一Mv 0＝（M ＋m ）v 2，20010.4/5m M v v v m s m M -===+ (3）平板车与墙壁第一次碰撞后到滑块与平板车又达到共同速度v 前的过程，可用图(a) (b) (c ）表示．图(a)为平板车与墙碰撞后瞬间滑块与平板车的位置，图(b)为平板车到达最左端时两者的位置，图（c ）为平板车与滑块再次达到共同速度时两者的位置．在此过程中滑块动能减少等于摩擦力对滑块所做功µmgs /，平板车动能减少等于摩擦力对平板车所做功µmgs //（平板车从B 到A 再回到B 的过程中摩擦力做功为0)，其中s' ,s"分别为滑块和平板车的位移．滑块和平板车动能总减少为µmgL ，其中L ＝s /+s //为滑块相对平板车的位移．此后，平板车与墙壁发生多次碰撞，每次情况与此类似，最后停在墙边．设滑块相对平板车总位移为L,则有：½(M ＋m)v 02=µmgL,()220525220.43106M m v L m mg μ+⨯===⨯⨯⨯ L 即为平板车的最短长度．。