勒贝格积分
将给定的函数按函数值的区域进行划分，作和、求极限而产生的积分概念，就是勒贝格积分。
概念简述
定义：设f (x) 是E ∈ L q(mE < ∞) 上的有界函数，则称f (x) ∈ L(E) ，如果对任意ε > 0，必然存在E 的分划D，使
S(D, f ) -s(D, f ) = ΣωimEi<ε，
这里S(D, f ) 及s(D, f )分别是f (x) 关于分划D 的大和及小和，ωimEi是Ei上的振幅。
它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值区域进行划分；
后者是对函数定义域进行划分。
对此Lebesgue自己曾经作过一个比喻,他说:
假如我欠人家一笔钱,现在要还,此时按钞票的面值的大小分类,然后
计算每一类的面额总值,再相加,这就是Lebesgue积分思想；如不按面额大小分类,而是按从钱袋取出的先后次序来计算总数,那就是Riemann积分思想。
(参见:周性伟,实变函数教学的点滴体会,《高等理科教学》,2000.1) 即采取对值域作分划,相应得到对定义域的分划(每一块不一定是区间), 使得在每一块上的振幅都很小, 即按函数值的大小对定义域的点加
以归类。
积分介绍
积分是“和”的概念。
即将东西加起来。
所以积分早期是从面积，路
程等计算中发展起来。
比如计算面积，将X轴的区间分成若干小区间，将
小区间的高度(Y值)乘以小区间的长度，然后加起来。
用极限法就可以求得精确的面积。
这是传统的积分概念(黎曼积分)。
勒贝格从另一个角度来考虑积分概念，导致勒贝格积分和测度概念。
比如
计算面积，可以将小区间的高度(Y值)乘以对应的所有小区间的长度的和(测度)，然后加起来。
又比如现有硬币：25， 25，10，5，10，1，5，25。
用黎曼积分来求和：25+25+10+5+10+1+5+25=106。
用勒贝格积分来求和：25*3+10*2+5*2+1=106。
结果是一样。
但对于一些“坏”函数，结果是不一样。
比如在X轴[0，1]闭区间上定义函数：
Y=1，当X是无理数；
Y=0，当X是有理数。
求该函数覆盖的面积。
黎曼积分无法定义，因为任意小的区间都包含无理数和有理数。
用勒贝格积分来求和: 1*1+0*0 = 1。
[0，1]闭区间的长度(测度)是1；有限点集的长度(测度)是0；无限可数点集(如，有理数)的长度(测度)是0。
而[0，1]闭区间的长度(测度) = 有理数集的长度 + 无理数集的长度。
所以，[0，1]闭区间的无理数集的长度(测度) 是1。
这就解释了上述计算结果。
由此可见，勒贝格积分比黎曼积分广义。
很多数学概念和思想就是从貌似相同的概念和思想中推导出来。
这启发我们在做研究时应从不同角度来考虑一些现有概念和理论，有时可能导致新的概念和理论。
背景知识
黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。
19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分(简称R-S积分)等。
只要相应的函数性质良好,用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。
然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。
在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。
通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。
因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。
1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称l－S积分）。
20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。
勒贝格
（1875～1941）Lebesgue，Henri Lon
法国数学家。
1875年6月28日生于博韦，1941年7月26日卒于巴黎。
1894～1897年在巴黎高等师范学校学习。
1902年在巴黎大学获得博士学位，从1902年起先后在雷恩大学、普瓦蒂埃大学、巴黎大学文理学院任教。
1922年任法兰西学院教授，同年被选为巴黎科学院院士。
勒贝格的主要贡献是测度和积分理论。
他采用无穷个区间来覆盖点集，使许多特殊的点集的测度有了定义。
在定义积分时他也采取划分值域而不
是划分定义域的办法,使积分归结为测度,从而使黎曼积分的局限性得到突破，进一步发展了积分理论。
他的理论为20世纪的许多数学分支如泛函分析、概率论、抽象积分论、抽象调和分析等奠定了基础。
利用勒贝格积分理论,他对三角级数论也作出基本的改进。
另外,他在维数论方面也有贡献。
晚年他对初等几何学及数学史进行了研究。
他的论文收集在《勒贝格全集》。