黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶54 许小亭57 杨莉黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<==Λ10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<=Λ10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i Λ,2,1=若i ni i mE y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,m ax x f x f=+，()(){}0,m in x f x f-=-,则有()()()x f x fx f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i Λ2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()ini iEmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x fx f -+-=,则()()()dm x f dm x f dm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<==Λ10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i Λ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i ini i m M w xw -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑iii mEw .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较黎曼积分的性质1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注()()()()dx x g dx x f dx x g x f b ab ab a⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab ab a⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,m ax = ,()(){}x g x f m ,m in =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.勒贝格积分的性质1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E Y 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=Λ21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,m ax =,()(){}x g x f m ,m in =也 在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dxdx f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim . ⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤Λ.⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()()Λ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.。