勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。

首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。

⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。

⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。

⑷缺乏单调收敛。

鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。

1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。

那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。

在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。

首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。

其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。

下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。

关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。

设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。

定义2：设E 是一个勒贝格可测集，()m E <∞，()f x 是定义在E 上的勒贝格可测函数，又设()f x 是有界的，就是说是否存在l 及μ，使得()(,μ)f E l ⊂，在[],μl 中任取一分点组D10μn l l l l =<<<=,记11()max()k k k nD l l -≤≤δ=- 1(())k k kE E l f x l -=≤<,并任取ζi k E ∈（我们约定，当k E =Φ时，(ζ)()0i k f m E =），作和1()(ζ)()ni k k S D f m E ==∑如果对任意的分法与ζi 的任意取法，当()0D δ→时，()S D 趋于有限的极限，则称它为()f x 在E 上关于勒贝格测度的积分，记作()EJ f x dx =⎰. 定义3：设)(x f 是n R E ⊂ ()∞<mE 上的有界可测函数。

作E 的任意分割E D := ni i E 1=,其中i E 为互不相交的非空可测子集。

设)(inf ),(sup x f A x f B ii E x i E x i ∈∈==,则D 的大和及小和为∑∑====ni i i D n i i i D mE A s mE B S 11,设)(x f 在E 上的上下积分为D DE D D E S dx x f s dx x f inf )(,sup )(==⎰⎰--若⎰⎰=-EE dx x f dx x f )()(则称)(x f 在E 上是可积的,且称该共同值为)(x f 在E 上的Lebesgue 积分,记为⎰Edx x f )(。

为了便于与R 积分的定义比较我罗列了L 积分的三种定义，这三种定义是等价的。

由定义1定义L 积分的方法可称为逼近法，所谓逼近法就是从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法. 由定义2、3定义L 积分的方法可称为划分法，所谓划分法就是类似于R 积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上给出L 积分。

对于定义1的逼近法比较繁琐但是这种定义易于与R 积分的定义比较，下面是R 积分的定义。

1．2 黎曼积分的定义不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。

这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下：定义1：S 是函数f 在闭区间[],a b 上的黎曼积分，当且仅当对于任意的0ε>，都存在0δ>，使得对于任意的取样分割01011,,,;,,,n n x x x t t t -只要它的子区间长度最大值λδ≤ ，就有： 110()()n ii i i f t x x s ε-+=--<∑也就是说，对于一个函数f ，如果在闭区间[],a b 上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数f 的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么f 在闭区间[],a b 上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数f 为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。

定义2设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取一分点组T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，s 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()ba I R f x dx =⎰ 定义3：s 是函数f 在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的0ε>，都存在一个取样分割01011,,,;,,,n n x x x t t t -，使得对于任何比其“精细”的分割01,,,n y y y 和 01,,,n s s s ，都有： 110()()m ii i i f s y y s ε-+=--<∑如果有一个s 满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。

首先，如果有一个s 满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值λδ≤的分割中任取一个。

对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δ，于是满足：110()()m ii i i f s y y s ε-+=--<∑上面对黎曼积分的三种定义都是等价的。

首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的（具体见达布积分定义）其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。

任选一个分割01,,,n x x x 使得它的上达布和与下达布和都与s 相差不超过2ε 。

令r 等于01max ()i i i n M m ≤≤--，其中i M 和i m 是f 在[]1,i i x x +上的上确界和下确界。

再令δ是2m ε和01min ()i i i n M m ≤≤--中的较小者。

可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δ时， f 关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差2ε，所以和s 至多相差ε。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

从定义上看，它们的主要区别是：R 积分是“竖”着分割区间[],a b ，而L 积分是“横”着分割值域[],L M .前者的优点是1,i i i x x -⎡⎤∆=⎣⎦的度量容易给出，但当分法的细度T 充分小时，函数()f x 在i ∆上的振幅sup ()inf ()ii i x x f x x →∆∈∆δ=-仍可能较大；后者的优点是函数()f x 在k E 上的振幅sup ()inf ()()kk k x E x E f x f x D δδ∈∈=-≤较小，但k E 一般不再是区间，而是可测集.其度量()k m E 的值一般不易给出.对定义域与对值域的分割是R 积分与L 积分的本质区别，对值域进行分割求积分的方法使E 中的点分成几大类，更简单明了.另外，L 积分理论是在测度理论的基础上建立的,测度是平面上度量的推广，这一理论可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅限于[],a b 上.然而就是这一点点的差别，使这两种积分产生了本质的区别,使勒贝格积分具备了很多黎曼积分所不具备的良好性质.这在下面的讨论中可以很清楚的看到.2．关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的计算比较前面介绍的L 积分定义显然过于理论化，很难看出有固定的计算稳定。

L 积分是否只有理论上的意义呢？当然不该如此，下面的容我们讨论黎曼可积与勒贝格可积之间的联系，再利用这种关系给出一些简单情况下的积分计算方法。

先约定一些符号，设f 是[]b a ,上的有界函数，V 是非退化区间，记[]{}[]{} b a V x x f V m b a V x x f V M f f ,|)(inf )(,,|)(sup )( ∈=∈=)()(V m V M f -=ω{}V x V V x f ∈=是开区间，且|)(inf )(ωω称)(V f ω是f 在[]b a V , 上的振幅，)(x f ω是f 在点x 处的振幅。

当函数f 确定时，)(V f ω与)(x f ω简记为)(V ω与)(x ω。

我们有这样几个定理[1]：定理1： 设f 是定义在[]b a ,上的函数，0>δ，则(1)对任意[]b a x ,∈，f 在点x 连续当且仅当0)(=x ω(2)集合[]{}δω≥∈)(|,x b a x 是闭集。

定理2：区间[]b a ,上的有界函数f 黎曼可积的充要条件是集合[]{}0)(|,≥∈x b a x ω的测度为0.定理3: 若有界函数f 在[]b a ,上黎曼可积，则f 在[]b a ,上也是勒贝格可积，且积分值相等，即[]⎰⎰=b a b a dx x f dx x f R ,)()()(定理2说明L 积分是R 积分的推广，定理3说明对于非负函数而言L 积分也是R 反常积分的推广，但是一般情况下L 积分并不是R 反常积分的推广，这主要因为L 积分是绝对收敛的积分而收敛的R 反常积分并不一定绝对收敛。

所以不能以为L 积分包括了R 积分就得出L 积分比R 积分优越的结论。

然而L 积分对于R 积分来讲确实有本质上的进步。