空间几何平行垂直证明专题训练知识点讲解
（一）直线与直线平行的证明
1）利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行
2）利用三角形中位线性质
3）利用空间平行线的传递性：m//a,m//b = a//b
平行于同一条直线的两条直线互相平行。

4）利用直线与平面平行的性质定理：
如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行
a II - '
a= a II b
-b -
5）利用平面与平面平行的性质定理：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
-//
I _
o（nY = a〉= a // b
6）利用直线与平面垂直的性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线互相平行
a _ ：'
b _ = a // b
7）利用平面内直线与直线垂直的性质：
在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点
（二）直线与平面平行的证明
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另
（二）平面与平面平行的证明
常见证明方法:
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

、“垂直关系”常见证明方法
（一）直线与直线垂直的证明
1） 利用某些平面图形的特性：如 直角三角形的两条直角边互相垂直 等。

2） 看夹角：两条共（异）面直线的夹角为 90°,则两直线互相垂直。

3） 利用直线与平面垂直的性质：
1) 利用直线与平面平行的判定定理: 2) a // b 丿
利用平面与平面平行的性质推论:
个平面
3) 1) 利用平面与平面平行的判定定理:
2) 3) //
//
b = P ：?：〃：
利用某些空间几何体的特性：如
利用定义：两个平面没有公共点
利用定义：直线在平面外,
如果一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于此平面内的所有直线
b-
4）利用平面与平面垂直的性质推论:
如果两个平面互相垂直，在这两个平面内分别作垂直于交线的直线，则这两条直线互相垂直。

a
一:■
b 二：
a _ l
b _ l
5）利用常用结论:
① 如果两条直线互相平行，且其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条直线也垂
直于第三条直线
a //
b
a_ c
②如果有一条直线垂直于一个平面，另一条直线平行于此平面，那么这两条直线互
相垂直
a - :■
b //
（二）直线与平面垂直的证明
1）利用某些空间几何体的特性：如长方体侧棱垂直于底面等
2）看直线与平面所成的角：如果直线与平面所成的角是直角，则这条直线垂直于此平面
3）利用直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线垂直于此平面。

I
a u °
b u a
a 口
b = A ' = 1丄
I丄a
I _ b
4）利用平面与平面垂直的性质定理:
精品文档
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
a // b
b _ ：
两个平面平行，一直线垂直于其中一个平面，则该直线也垂直于另一个平面。

（三）平面与平面垂直的证明
1）利用某些空间几何体的特性：如长方体侧面垂直于底面等
2）看二面角：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就说这连个平面互相垂直
利用平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
a丄P j
题型一：平行（线线平行、线面平行、面面平行）
例1•如图，在直三棱柱ABC -A i B i C i中，E、F分别是AB、AQ的中点，求证：EF //平面ABC;（两
种方法证明）
5)
a丄p
a c p
a c a
a丄l
利用常用结论:
一条直线平行于一个平面的一条垂线，则该直线也垂直于此平面
/ 1 1 /
a
虫11 丿
3)
方法
o
二a
_ ：
C
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方法二:
例2•如图，正三棱柱ABC -AEG中，D是BC的中点，求证：AB /平面ADC,.（两种方法证明）
方法一：
方法
A
3 •如图，在底面为平行四边行的四棱锥P-ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC ；（两种方法证明）
方法一：
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方法
4.如图，E、F、O分别为PA , PB , AC的中点，G是0C的中点，求证：FG//平面BOE ；（两种方法证明）
方法一：
方法
课后练习
1.已知空间四边形ABCD中, E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点.求证：AC//平面EFG.。