！空间中的垂直关系专题训练知识梳理一、线线垂直：如果两条直线于一点或经过后相交于一点，并且交角为，则称这两条直线互相垂直.二、线面垂直：1.定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_________________，则称这条直线和这个平面垂直. 也就是说，如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内任意一条直线都 .直线l和平面！α互相垂直，记作l⊥α.2.判定定理：如果一条直线与平面内的直线垂直，则这条直线与这个平面垂直.推论①：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也于这个平面.推论②：如果两条直线同一个平面，那么这两条直线平行.3.点到平面的距离：长度叫做点到平面的距离.三、面面垂直：1.定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线，就称这两个平面互相垂直.平面α，β互相垂直，记作α⊥β.—2.判定定理：如果一个平面经过另一个平面的___________，则这两个平面互相垂直.3.性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于直线垂直于另一个平面.四、求点面距离的常用方法：1.直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个三角形.2.转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距离来求解.3.体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解.】题型一线线垂直、线面垂直的判定及性质例1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.《【变式1】已知：正方体ABCD﹣A1B1C1D1 ，AA1=2，E为棱CC1的中点．（Ⅰ ）求证：B1D1⊥AE；（Ⅱ ）求证：AC∥平面B1DE．【解答】（Ⅰ）连接BD，则BD∥B1D1，∵ABCD是正方形，∴AC⊥ BD．∵CE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴CE⊥BD．又∵AC∩CE=C，∴BD⊥面ACE．∵AE⊂面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE．﹣﹣﹣（5分）-（Ⅱ）证明：取BB1的中点F，连接AF、CF、EF．∵ E、F是C1C、B1B的中点，∴ CE∥B1F且CE=B1F，∴ 四边形B1FCE是平行四边形，∴ CF∥ B1E．∵ 正方形BB1C1C 中，E、F是CC、BB的中点，∴ EF∥BC且EF=BC又∵ BC∥AD且BC=AD，∴ E F∥AD且EF=AD．∴ 四边形ADEF是平行四边形，可得AF∥ED，∵ AF∩CF=C，BE∩ED=E，∴ 平面ACF∥平面B1DE．又∵ AC⊂平面ACF，∴AC∥面B1DE．【变式2】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，点E、G分别是CD、PC的中点，点F在PD上，且PF：FD=2：1．（Ⅰ ）证明：EA⊥ PB；（Ⅱ ）证明：BG∥ 面AFC．、【解答】（Ⅰ）证明：因为面ABCD为菱形，且∠ABC=60°，所以△ ACD为等边三角形，又因为E是CD的中点，所以EA⊥AB．又PA⊥平面ABCD，所以EA⊥PA．而AB∩PA=A所以EA⊥面PAB，所以EA⊥PB．（Ⅱ）取PF中点M，所以PM=MF=FD．连接MG，MG∥CF，所以MG∥面AFC．连接BM，BD，设AC∩BD=O，连接OF，所以BM∥OF，所以BM∥面AFC．而BM∩MG=M~所以面BGM∥面AFC，所以BG∥面AFC．【变式3】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=，AA1=2．（1）证明：AA1⊥ BD（2）证明：平面A1BD∥平面CD1B1；（3）求三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵ A1O⊥平面ABCD且BD⊂面ABCD，∴ A1O⊥BD，又∵ A1O∩AC=O，A1O⊂面A1AC，AC⊂面A1AC，.∴BD⊥面A1AC，AA1⊂面A1AC，∴ AA1⊥BD．（2）∵ A1B1∥AB，AB∥CD，∴ A1B1∥CD，又A1B1=CD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴ A1D∥B1C，同理A1B∥CD1，∵ A1B⊂平面A1BD，A1D⊂平面A1BD，CD1⊂平面CD1B1，B1C⊂平面CD1B，且A1B∩A1D=A1，CD1∩B1C=C，∴平面A1BD∥平面CD1B1．（3）∵ A1O⊥面ABCD，∴ A1O是三棱柱A1B1D1﹣ABD的高，在正方形ABCD中，AO=1．在Rt△A1OA中，AA1=2，AO=1，∴ A1O=，∴ V三棱柱ABD﹣A1B1D1=S△ABD•A1O=•（）2•=∴三棱柱ABD﹣A1B1D1的体积为．.【变式4】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=BC=AC=AA1=4，点F在CC1上，且C1F=3FC，E是BC的中点．（1）求证：AE⊥平面BCC1B1（2）求四棱锥A﹣B1C1FE的体积；（3）证明：B1E⊥AF．【解答】（1）∵ AB=AC，E是BC的中点，)∴AE⊥ BC．在三棱柱ABC﹣A1B1C1，中，BB1∥ AA1，∴ BB1⊥平面ABC，∵ AE⊂平面ABC，∴ BB1⊥ AE，…．（2分）又∵ BB1∩BC=B，…．（3分）BB1，BC⊂平面BB1C1C，∴AE⊥平面BB1C1C，…．（4分）\（2）由（1）知，即AE为四棱锥A﹣B1C1FE的高，在正三角形ABC中，AE=AB=2，…在正方形BB1C1C，中，CE=BE=2，CF=1，∴=﹣﹣S△CFE=4×=11．…（6分）∴=•AE==…（7分）（3）证明：连结B1F，由（1）得AE⊥平面BB1C1C，∵ B1E⊂平面BB1C1C，∴AE⊥B1E，…．（8分）在正方形BB1C1C，中，B1F==5，B1E==2，EF==，∵ B1F2=B1E2+EF2，∴ B1E⊥EF…．（9分）又∵AE∩EF=E，…．（10分）AE，EF⊂平面AEF，∴ B1E⊥平面AEF，…．（11分）∵ AF⊂平面AEF，∴ B1E⊥AF．…．（12分）【变式5】如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2，E 为PC的中点，G在BC上，且CG=CB!（1）求证：PC⊥ BC；（2）求三棱锥C﹣DEG的体积；（3）AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG若存在，求AM的长；否则，说明理由．【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC．又∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD．又∵PD∩CD=D，∴BC⊥平面PCD．又∵PC⊂平面PCD，∴PC⊥BC．（2）∵BC⊥平面PCD，∴ GC是三棱锥G﹣DEC的高．∵ E是PC的中点，）∴ S△EDC=S△PDC==×（×2×2）=1．V C﹣DEG=V G=GC•S△DEC=××1=．﹣DEC（3）连结AC，取AC中点O，连结EO、GO，延长GO交AD于点M，则PA∥平面MEG．证明：∵E为PC的中点，O是AC的中点，∴EO∥PA．又∵EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，∴PA∥平面MEG．在正方形ABCD中，∵O是AC的中点，BC=PD=2，CG=CB．∴△OCG≌△OAM，∴AM=CG=，∴所求AM的长为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣}【变式6】如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面A1B1C1，A1B1⊥B1C1且A1B1=BB1=B1C1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：A1B⊥AC1（Ⅱ）在直线CC1上是否存在一点E，使得A1E⊥平面A1BD，若存在，试确定E 点的位置；若不存在，请说明理由．【解答】（Ⅰ）证明：连接AB1∵ BB1⊥平面A1B1C1.∴ B1C1⊥BB1∵ B1C1⊥A1B1且A1B1∩BB1=B1∴ B1C1⊥平面A1B1BA∴ A1B⊥B1C1 . 又∵ A1B⊥AB1且AB1∩B1C1=B1∴A1B⊥平面AB1C1∴A1B⊥AC1（Ⅱ）存在点E在CC1的延长线上且CE=2CC1时，A1E⊥平面A1BD．设AB=a，CE=2a，∴，∴，，DE=，∴，∴A1E⊥A1D…∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1=C，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1∴ A1E⊥BD. 又BD∩A1D=D ，∴ A1E⊥平面A1BD—【变式7】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥ BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1．【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以C1C⊥平面ABC，所以C1C⊥AC．又因为AC=3，BC=4，AB=5，$所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．又C1C∩BC=C，所以AC⊥平面CC1B1B，所以AC⊥ BC1．（2）连结C1B交CB1于E，再连结DE，由已知可得E为C1B的中点，又∵D为AB的中点，∴DE 为△BAC1的中位线．∴AC1∥DE。

又∵DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1∴AC1∥平面CDB1．【变式8】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=2AC=2BC，D是AA1的中点，CD⊥B1D．（1）证明：CD⊥ B1C1；（2）平面CDB1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【解答】（1）证明：由题设知，直三棱柱的侧面为矩形，】由D为AA1的中点，则DC=DC1，又AA1=2AC，可得DC12+DC2=CC12，则CD⊥ DC1，而CD⊥ B1D，B1D∩DC1=D，则CD⊥平面B1C1D，由于B1C1⊂平面B1C1D，故CD⊥ B1C1；（2）解：由（1）知，CD⊥B1C1，《且B1C1⊥C1C，则B1C1⊥平面ACC1A1，设V1是平面CDB1上方部分的体积，V2是平面CDB1下方部分的体积，则V1=V B1﹣CDA1C1=S CDA1C1•B1C1=וB1C13=B1C13，V=V ABC﹣A1B1C1=AC•BC•CC1=B1C13，则V2=V﹣V1=B1C13=V1，故这两部分体积的比为1：1．【变式9】如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面是边长为2的正方形，高为1，点E在B1B上，且满足B1E=2EB．（1）求证：D1E⊥A1C1；（2）在棱B1C1上确定一点F，使A、E、F、D1四点共面，并求此时B1F的长；（3）求几何体ABED1D的体积．】【解答】（Ⅰ）证明：连结B1D1．因为四边形A1B1C1D1为正方形，所以A1C1⊥B1D1．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面A1B1C1D1，又A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1．因为DD1∩B1D1=D1，DD1⊂平面BB1D1D，B1D1⊂平面BB1D1D，所以A1C1⊥平面BB1D1D．又D1E⊂平面BB1D1D，所以D1E⊥A1C1．…（4分）（Ⅱ）解：连结BC1，过E作EF∥BC1交B1C1于点F．因为AD1∥BC1，所以AD1∥EF．,所以A、E、F、D1四点共面．即点F为满足条件的点．又因为B1E=2EB，所以B1F=2FC1，所以．…（8分）（Ⅲ）解：四边形BED1D为直角梯形，几何体ABED1D为四棱锥A﹣BED1D．因为==，点A到平面BED1D的距离h=，所以几何体ABED1D的体积为：=．…（13分）题型二面面垂直的判定例2.如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.（1）求证：平面PBE⊥平面PAC；）（2）如何在BC上找一点F，使AD∥平面PEF并说明理由.【变式1】如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．证明：平面AEC⊥平面BED.【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵BE⊥平面ABCD，∴AC⊥BE，则AC⊥平面BED，∵AC⊂平面AEC，∴平面AEC⊥平面BED；【变式2】如图，三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．【解答】在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G为AC的中点．∴，∴四边形CFDG是平行四边形，∴DM=MC．又BH=HC，∴MH∥BD，又BD⊄平面FGH，MH⊂平面FGH，∴BD∥平面FGH；]证法二：在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，H为BC的中点．∴，∴四边形BHFE为平行四边形．∴BE∥HF．在△ABC中，G为AC的中点，H为BC的中点，∴GH∥AB，又GH∩HF=H，∴平面FGH∥平面ABED，∵BD⊂平面ABED，∴BD∥平面FGH．（II）证明：连接HE，∵G，H分别为AC，BC的中点，∴GH∥AB，∵AB⊥BC，∴GH⊥BC，又H为BC的中点，∴EF∥HC，EF=HC．∴EFCH是平行四边形，∴CF∥HE．∵CF⊥BC，∴HE⊥BC．又HE，GH⊂平面EGH，HE∩GH=H，∴BC⊥平面EGH，又BC⊂平面BCD，∴平面BCD⊥平面EGH．【变式3】如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD．?求证：平面BCD⊥平面ABC．【解答】因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD．又CD⊥BC，AB∩BC=B，所以CD⊥平面ABC．又CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ABC．…【变式4】如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F，G分别是PD，PC，BC的中点．（1）求证：平面EFG⊥平面PAD；（2）若M是线段CD上一点，求三棱锥M﹣EFG的体积．【解答】（1）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD∴CD⊥平面PAD…（3分）又∵△PCD中，E、F分别是PD、PC的中点，/∴EF∥CD，可得EF⊥平面PAD∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD；…（6分）（2）∵EF∥CD，EF⊂平面EFG，CD⊄平面EFG，∴CD∥平面EFG，因此CD上的点M到平面EFG的距离等于点D到平面EFG的距离，∴V M﹣EFG=V D﹣EFG，取AD的中点H连接GH、EH，则EF∥GH，∵EF⊥平面PAD，EH⊂平面PAD，∴EF⊥EH于是S△EFH=EF×EH=2=S△EFG，∵平面EFG⊥平面PAD，平面EFG∩平面PAD=EH，△EHD是正三角形—∴点D到平面EFG的距离等于正△EHD的高，即为，…（10分）因此，三棱锥M﹣EFG的体积V M﹣EFG=V D﹣EFG=×S△EFG×=．…（12分）【变式5】如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，AD=AC=DE=2AB=2，且F是CD的中点，AF=．（1）求证：AF∥平面BCE；（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；（3）求此多面体的体积．【解答】证明：（1）取CE中点P，连接FP、BP，∵PF∥DE，且FP=1又AB∥DE，且AB=1，∴AB∥FP，且AB=FP，∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．（2分）又∵AF⊄平面BCE，BP⊂平面BCE，∴AF∥平面BCE（4分）~（2）证明：∵AD=AC，F是CD的中点，．所以△ACD为正三角形，∴AF⊥CD∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE又∵BP平面BCE, ∴平面BCE⊥平面CDE.（3）此多面体是以C为顶点，以四边形ABED为底边的四棱锥，等边三角形AD边上的高就是四棱锥的高（12分）【变式6】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C．（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；~（II）若AB=2，求三棱柱ABC﹣A1B1C1体积．【解答】（Ⅰ）证明：由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又∵AB⊥B1C，BB1∩B1C=B1，∴AB⊥平面BB1C1C，又∵AB⊂平面AA1B1B，∴平面AA1B1B⊥BB1C1C．（Ⅱ）由题意，CB=CB1，设O是BB1的中点，连接CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A，且CO=BC=AB=．连接AB1，则=•CO=×AB2•CO=．∵====，∴V三棱柱=2．【变式7】如图，四边形ABCD为梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=，E为BC中点．（1）求证：平面PBC⊥平面PDE；[（2）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF若有，请找出具体位置，并进行证明；若无，请分析说明理由．【解答】（1）证明：连结BD，∠BAD=90°，；∴BD=DC=2a，E为BC中点，∴BC⊥DE；又PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD；∴BC⊥PD，DE∩PD=D；∴BC⊥平面PDE；∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PDE；（2）如上图，连结AC，交BD于O点，则：△AOB∽△COD；~∵DC=2AB；∴；∴；∴在PC上取F，使；连接OF，则OF∥PA，而OF⊂平面BDF，PA⊄平面BDF；∴PA∥平面BDF．题型三：面面垂直性质应用例3.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点.（1）求证：BG⊥平面PAD；（2）求证：AD⊥PB.。