高中数学总复习-第七章立体几何-空间中的平行和垂直关系【知识结构图】第3课空间中的平行关系【考点导读】1 •掌握直线和平面平行、两个平面平行的判定定理和性质定理。
2 •明确定义与定理的不同，定义是可逆的，既是判定也是性质，而判定定理与性质定理多是不可逆的。
3. 要能灵活的对“线线平行”、“线面平行”和“面面平行”进行转化。
【基础练习】1. 若a、b为异面直线，直线c // a,则c与b的位置关系是异面或相交2 •给出下列四个命题①垂直于同一直线的两条直线互相平行•②垂直于同一平面的两个平面互相平行.③若直线1(2与同一平面所成的角相等，则1」2互相平行.④若直线1(2是异面直线，则与1(2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是_4 _______ 个。
3•对于任意的直线I与平面a,在平面a内必有直线m使m与I 垂直。
:4. 已知a、b、c是三条不重合的直线，a、B、r是三个不重合的平面，下面六个命题：①a// c, b// c a// b；②a // r, b II r a // b；③a// c, B // c a// B ;④a// r, B // r a// B ;⑤a// c,a// c a//a；⑥a // r ,a// r a //a.其中正确的命题是①④________【范例导析】例1.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形.求证：AB//平面EFG证明：•面EFGH是截面.•••点E, F, G, H分别在BC, BD, DA AC上.••• EH 面ABC GF 面ABD由已知,EH// GF. • EH// 面ABD又T EH，—面BAC 面AB6面ABD=AB•EH// AB.•AB// 面EFG例2. 如图，在正方体ABC—A1B1C1D中，点N在BD上，点M在BC上，并且CM=DN. DC求证:MN//平面AABB.分析：“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”是可以互相转化的。
本题可以采 用任何一种转化方式。
简证：法1:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
即在平面ABBA i 内找一条直线与MN 平行，如图所示作平行线即可法2:把证“线面平行”转化为证“线线平行”。
连CN 并延长交直线BA 于点P , 连B i P ,就是所找直线，然后再设法证明 MN B i P.法3:把证“线面平行”转化为证“面面平行”。
过M 作MQ//BB 交BC 于B i ,连NQ 则平面MNQ与平面ABBA i 平行，从而证得MN/平面ABBA.点评：证明线面或面面平行的时候一定要注意相互的转化，非常灵活。
【反馈演练】 i •对于平面 和共面的直线m 、n,下列命题中真命题是(3)。
(i)若 m ,m n,则 n// (2)若 m// ,n // ,则 m//n (3)若m ,n// ,则m// n (4)若m 、n 与 所成的角相等，则m// n2. 设a 、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是 (2) 0 (1) 经过直线a 有且只有一个平面平行于直线 b(2) 经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线 b(3) 存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面(4) 存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面3. 关于直线a 、b 、I 及平面M N.下列命题中正确的是(4)。
(i) 若 a // M, b // M,则 a // b C iC(2) 若 a II M b ±a ,则 b ± M(3) 若a^M 瞎M 且I 丄a , l 丄b ,贝U l 丄M(4) 若 a 丄 M a I N,则 Ml N4•“任意的a ,均有all ”是“任意b ,均有b// ”的 充要条件 5. 在正方体AG 中,过A i C 且平行于 AB 的截面是面AB i CD . 6. 在长方体ABC —AB 1CD 中,经过其对角线BD 的平面分别与棱AA,CG 相交于 E,F 两点，则四边形EBFD 勺形状为 _______________ 。
7. 已知P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点,M 为PE 的中点, 求证：PD//平面MAC.证明连AC 交BD 于O,连MO,则MO 为APED 的中位线，• ••PD//MO,tPD•••PD// 平面 MAC. 8 •如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点+ (1)求证：MN //平面PAD ; (2) 若MN BC 4 , PA 4.3 ,求异面直线PA 与MN 所成的角的大小+ 略证：(1)取PD 的中点H,连接AH,1 NH//DC,NH DC 2NH // AM , NH AM AMNH 为平行四边形MN //AH ,MN PAD , AH PAD MN // PAD (2):连接AC 并取其中点为O,连接OM ON 则OM 平行且等于BC 的一半， ON 平行且等于PA 的一半，所以 ONM 就是异面直线PA 与MN 所成的角，由 MN BC 4 , PA 4.3 得，OM=2 ON=2・ 3所以 ONM 30°,即异面直线PA 与MN 成30°的角.9•两个全等的正方形 ABC 併口 ABEF 所在平面相交于 AB, M€ AC , N€ FB,且AMtFN, 求证：MN/平面BCE平面MAC,M O 平面MAC,P H ND C证法一：作MPL BC NQL BE P、Q为垂足，贝U MP/ AB, NQ/ AB••• MP// NQ 又AM=NF, AC=BF,••• MCNB / MC=Z NBQ45°••• Rt △ MC 匡Rt △ NBQ••• MP=NQ故四边形MPQ为平行四边形••• MN/ PQ••• PQ平面BCE MN在平面BCE外 ,••• MN/ 平面BCE证法二：如图过M作MH L AB于H ,则MH/ BC,.AM AH_…AC AB连结NH由BF=AC FN=AM得卫！少 BF AB••• NH//AF//BE由MH//BC, NH//BE 得：平面MNH/平面BCEF E••• MN/ 平面BCE第4课空间中的垂直关系【考点导读】1. 掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理，并能用它们证明和解决有关冋题。
2. 线面垂直是线线垂直与面面垂直的枢纽，要理清楚它们之间的关系，学会互相转化，善于利用转化思想。
【基础练习】1 .“直线I垂直于平面内的无数条直线”是“ I丄”的必要条件。
2. 如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的位置关系是平行或相交。
3. 在正方体中，与正方体的一条对角线垂直的面对角线的条数是6 ________ 。
4. 两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是平行、相交或在另一个平面内。
5. 在正方体ABCD A1B1C1D1中，写出过顶点A的一个平面ABD _______ ，使该平面与正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等(注：填上你认为正确的一个平面即可，不必考虑所有可能的情况)。
【范例导析】例1 .如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD丄底面ABCDPD=DCE是PC的中点,作EF丄PB交PB于点F.(1) 证明PA/平面EDB (2)证明PB丄平面EFD解析：本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.证明：(1)连结ACAC交BD于Q连结E0E •••底面ABCD是正方形，.••点Q是AC的中点在PAC中,EQ是中位线，二PA// EQ而EQ 平面EDB且PA 平面EDB所以,PA// 平面EDB(2) v PDL底面ABCD且DC 底面ABCD 二PD DC••• PD=DC可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜边PC的中线, ••• DE PC. ①同样由PDL底面ABCD W PDL BC•••底面ABCD是正方形,有DC L BC ••• BCL平面PDC而DE 平面PDC：BC DE. ②由①和②推得DE 平面PBC 而PB 平面PBC •DE PB例2 •如图，△ ABC为正三角形，EC丄平面ABC , BD又EF PB且DE EF E ,所以PB丄平面EFD// CE , CE = CA = 2 BD ,M是EA的中点，求证：(1) DE = DA ； (2)平面BDM丄平面ECA ；(3) 平面DEA丄平面ECA分析：(1)证明DE = DA，可以通过图形分割，证明△ DEF DBA (2)证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。
由( 1)知DM丄EA，取AC中点N，连结MN、NB，易得四边形MNBD是矩形。
从而证明DM丄平面ECA证明：(1)如图，取EC中点F，连结DF••• EC 丄平面ABC，BD // CE，得DB 丄平面ABC。
DB 丄AB，EC 丄BC1BD // CE，BD = - CE = FC，2则四边形FCBD是矩形，DF丄EC又BA = BC = DF，• Rt△ DEF 望Rt△ ABD，所以DE = DA(2)取AC中点N，连结MN、NB，••• M是EA的中点，• M也-EC2由B^1EC，且BD丄平面ABC，可得四边形MNBD是矩形，于是DM丄2MNDE = DA , M 是EA 的中点，二DM 丄EA .又EA MN = M ,DM丄平面ECA，而DM 平面BDM,则平面ECA丄平面BDM(3)v DM 丄平面ECA , DM 平面DEA ,••• 平面DEA丄平面ECA点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决例3.如图，直三棱柱ABC-ABC中，AC = BC = 1,/ ACB = 90°, AA = 2，D 是AB i 中点.(1)求证CD丄平面AB ; (2)当点F在BB上什么位置时，会使得AB丄平面CDF ?并证明你的结论。
分析：(1)由于C i D所在平面ABC垂直平面AB，只要证明CD垂直交线A i B i , 由直线与平面垂直判定定理可得CD丄平面AB。
(2)由(1)得CD丄AB，只要过D作AB的垂线，它与BB的交点即为所求的F点位置。
证明：(1)如图ABC-ABC是直三棱柱，••• AQ = BC = 1,且/ A1C1B1 = 90°。
又D 是AB 的中点，CD _LAB . AA丄平面AB1C , C1D 平面A1B1C ,AA _L CiD , • CD 丄平面AABB。
(2)解：作DE丄AB交AB于E ,延长DE交BB于F ,连结GF ,则AB丄平面GDF，点F即为所求。