注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
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五、函数展开成幂级数
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式
1 2 3 n 1 x x x x , x ( 1 , 1) 1 x
比较级数
1 p n 1 n

p 1 时收敛，p 1 时发散（p-级数）
aq
n 1

n 1
| q | 1 时收敛， | q | 1 时发散 (等比级数)
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二 、交错级数及其审敛法
设 u n 0 , n 1 , 2 , , 则各项符号正负相间的级数
f (x ) f (x ) ,
2
f ( x) ,
x 为连续点 x 为间断点
其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
（满足狄利克雷定理条件时）
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是两个正项级数,
(1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 时， (3) 当 l 时， 对一切 (1) 若强级数 (2) 若弱级数 有 (常数 k > 0 ),
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
也收敛 ;
也发散 .
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逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
n S ( x ) an x nan x n 1 , n 0 n 1
x ( R , R )
0 S ( x) d x
n 0
x

x n an x 0
an n 1 x , dx n 0 n 1 x ( R , R )
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六、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x ) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 右端级数可逐项积分, 下页
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f (x) 是周期为2 的 周期函数, f (x) 的傅里叶级数
n 1 1 1 ( 1 ) n 1 ln(1 x) x x 2 x 3 x 4 x 2 3 n 1 4 x ( 1 , 1 ]
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ex 1 x
1 2 1 n x x , 2! n!
一、正项级数审敛法 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 , 则 设 为正项级数, 且 lim n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ; (2) 当 1 或 时, 级数发散 .
1
时, 比较判别法
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比较审敛法
x ( , )
2 n 1 x3 x5 x 7 x ( 1) n sin x x 3! 5! 7 ! ( 2n 1) ! x ( , ) 2n x2 x4 x6 x n ( 1) cos x 1 2! 4! 6 ! ( 2n) ! x ( , )
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三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数
数 若 收敛 , 则原级
收敛，称
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
n 1 1
例如 ： ( 1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
( 1)

n 1
n 均为绝对收敛. n 10
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级数收敛的必要条件
设收敛级数 （当 则必有 时，级数 发散）
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四、幂级数收敛性及运算
an 的收敛半径为 R lim n a n 1
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幂级数的运算
定理 若幂级数 的收敛半径 则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) u n u n 1 ( n 1 , 2 , ) ;
2)

n
lim u n 0 ,
n 1 ( 1 ) u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数 n 1
rn u n 1 .