正项级数的审敛法
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❖定理7(莱布尼茨（ Leibnitz ）定理)
如 果 交 错 级 数 (1)n1un 满 足 条 件 n 1
(1)un un1(n 1, 2, 3, )
(2)
lim
n
u
n
0
,
则级数收敛, 且其和su1, 其余项rn的绝对值|rn|un1.
1或 lim n n
un
,则 un发散.
n1
例 判断级数 ( 2n 3)n的敛散性.
3n 2
解： n
1或 lim n n
un
,则 un发散.
n1
例
9
判
定
级
数
2
n 1
( 1) n 2n
的收敛性.
解 因为
lim n
n
un
lim
n
1 2
n
2 ( 1)n
1 2
,
所以, 根据根值审敛法可知所给级数收敛.
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思考 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
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❖定理2(比较审敛法)
设 un 和 vn 都 是 正 项 级 数 , 且 unvn (n1, 2, ).
n 1
n 1
若 vn 收敛, 则 un 收敛 若 un 发散, 则 vn 发散.
n 1
n 1
n 1
n 1
❖定理3
(2)若 lim n
n pun
l
0(
p
1),则
n1
un收敛.
例4 判断 sin 1的敛散性.
n1 n
解:
1
lim n sin 1 0,
n
n
所以 sin 1发散. n1 n
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思考：
设正项级数 un 收敛, 能否推出 un2 收敛 ?
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调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个
常用的比较级数.
若存在 N Z , 对一切 n N ,
(1)
un
1, n
则un 发散 ;
n1
(2)
un
1 np
( p 1), 则un 收敛.
n1
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调和级数与 p 级数是用于正项级数收敛性判断的两个
(1)若 1，则 un收敛. n1
(2)若
1或
n1
un1 un
，则 un发散.
n1
证明： 由lim un1 ， 0，N 0，当n N时有
n un
un1 .
un
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(1)若 1,取正数 0,使 q 1,N 0,当n N时有
即部分和数列{sn}有界. 因此级数∑un收敛. 反之, 若级数∑un发散, 则级数∑vn必发散. 这是因为如果
级数∑vn收敛, 由已证结论, 级数∑un也收敛, 矛盾.
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❖定理2(比较审敛法)
设∑un和∑vn都是正项级数, 且unkvn(k>0, nN). 若级数 ∑vn收敛, 则级数∑un收敛 若级数∑un发散, 则级数∑vn发散.
设 un 和 vn 都是正项级数,
n1
n 1
(1)如果 lim un n vn
l (0l),
且 vn 收敛, n1
则 un 收敛 n1
(2)如果 nlim
un vn
l
(0l),
且 vn 发散, n1
则 un 发散. n1
简要证证 明明
判断级数(1)
n1
n! nn
,
(2)
n1
n! 10n
的
敛
散性.
解：
(1) un1 un
(n 1)! (n 1)n1
/
n! nn
(n 1)n n
1 (1 1 )n
1 .
e
n
(2) un1 un
(n 1)! n! 10n1 / 10n
n1 10
.
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例如 , p – 级数
n
un
1 nn
p
1
(n
)
p 1, 级数收敛 ;
但
p 1, 级数发散 .
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❖定理9(根值审敛法, 柯西判别法)
对
正
项
级
数
n1
un
,
如
果
lim
n
n
un
,
(1)若 1,则 un收敛. n1
(2)若
)
(
1 8p
1 9p
1 15 p
)
1
(
1 2p
1 2p
)
(
1 4p
1 4p
1 4p
1 4p
)
(
1 8p
1 8p
1 8p
)
1
1 2 p1
1 ( 2 p1
)2
1 ( 2 p1
)3
当p>1时，上式中的最后一个级数是收敛的几何级数，其部 分和σn有界，从而p-级数的部分和sn满足
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❖定理9(根值审敛法, 柯西判别法)
对
正
项
级
数
n1
un
,
如
果
lim
n
n
un
,
(1)若 1,则 un收敛. n1
(2)若
1或 lim n n
un
,则 un发散.
n1
例
8
证
明
级
数
1
1 22
1 33
1 nn
是收敛的.
n 1
n 1
(1)如果 lim un l (0l), n vn
且 vn 收敛, n1
则 un 收敛 n1
(3)如果 lim un l (0l), n vn
且 vn 发散, n1
则 un 发散. n1
例3
判断
n1
1 2n
的敛散性. 1
§1.3 正项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
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一、正项级数及其审敛法
❖正项级数 各项都是正数或零的级数称为正项级数.
❖定理1(正项级数收敛的充要条件) 正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列有界. 这是因为正项级数的部分和数列{sn}是单调增加的, 而单
调有界数列是有极限.
un1 1,
un
也即un1 un ,
从而lim un 0, 故 un发散.
n
n1
(3)当lim un1 时, n un
取M 1 0, 存在N 0,当n N时, 有 un1 M 1, un
也即un1 un , 可得 un发散. n1
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思考：
正项级数
n1
un
,
若
lim
n
un1 un
1，级数的收敛性如何？
提示:
un
1 np
1
lim un1 lim (n 1) p 1
u n n
n
1
np
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思考：
正项级数
n1
un
,
若
lim
n
un1 un
不存在，则级数一定发散吗？
例例510
证
明
级
数
(
n 1
1)n
1
1 n
收敛,
并估计和及余项.
解 这是一个交错级数. 因为此级数满足
(1)
un
1 n
1 n 1
u n 1
(n1,
2,
),
(2)
lim
n
u
n
lim
n
1 n
0
,
由莱布尼茨定理, 级数是收敛的, 且其和s<u11,
余
项
| rn
|
n1
n1
提示:
un (1)n
