函数与方程
一、函数的零点概念
教材中具体的定义：对于函数)(x f y =,我们把使
0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点。

可以这样理解：① 函数)(x f y =的零点就是 方程0)(=x f 的实数根
② 函数)(x f y =的零点就是
函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标
二、用二分法求方程的近似解
二分法
对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )<0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 举例理解：
二次函数f （x ）=x 2－2x －3的图象（如下图），函数f （x ）=x 2－2x －3在区间［－2，1］上有零点. 计算f （－2）×f （1） （＞ 还是 ＜ ） 0
在区间［2，4］的端点上，即f （2）·f （4）＜0，函数f （x ）=x 2－2x －3在（2，4）内有零点。

例1 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
例2 下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是( )
三、零点分类：不变号零点和变号零点 不变号零点
)(x f y ==函数2)(x x f =在下列区间是否存在零点？（ ）
（A ）（-3，-1） （B ）（-1，2） （C ）（2，3） （D ）（3，4） 变号零点
函数零点的存在性定理(仅适合变号零点):
应用：仅能判断零点的存在性，或者判断零点所在的区间命题方法判断零点的个数及所在的区间
典例(1)已知函数f(x)＝6
x－log2
x，在下列区
间中，包含f(x)零点的区间是( ) A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,4)
D．(4，＋∞)(2)函数f(x)＝2x－
2
x－
a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3)
B．(1,2)
C．(0,3)
D．(0,2)
【解题法总结】函数零点问题的解题方法
(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上．
②利用零点存在性定理进行判断．
③画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
(2)判断函数零点个数的方法
①直接法：解方程f(x)＝0，方程有几个解，函数f(x)就有几个零点．
②图象法：画出函数f(x)的图象，函数f(x)的图象与x轴的交点个数即为函数f(x)的零点个数．
③将函数f(x)拆成两个常见函数h(x)和g(x)的差，从而f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数f(x)的零点个数即为函数y＝h(x)与函数y＝g(x)的图象的交点个数．
④二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式Δ来判断．
(3)已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法
①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围．
②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决．
③数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，然后数形结合求解．【精讲例题】
例题1：函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区
间是( )
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
例题2：函数x
x
y2
6
ln+
-
=的零点一定位于如下哪个区间（）
A.()2,1
B.()3,2
C.()4,3
D.()6,5例题3：若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1,1)内存在一个零点，则a的取值范围是( ) A．a>
1
5
B．a>
1
5
或a<－1
C．－1<a<
1
5
D．a<－1
【拓展练习】
例函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是________．
变式训练
求x
(2-
=零点的个数。

)
x
x
f2
总结：对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解
【考法总结】函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．选择、填空题考查的主要形式有两种，一种是找零点的个数；一种是判断零点的范围，多为中等难度．解答题考查较为综合，在考查函数的零点、方程的根的基础上，又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合的思想方法．。