高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN函数与方程【知识梳理】1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。

（2）方程0)(=x f 有实根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点。

因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。

函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点（3）变号零点与不变号零点①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。

②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。

③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(<b f a f 是()f x 在区间(),a b 内有零点的充分不必要条件。

2、函数零点的判定（1）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数)(x f y =在区间(),a b 内有零点，即存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，这个0x 也就是方程0)(=x f 的根。

（2）函数)(x f y =零点个数（或方程0)(=x f 实数根的个数）确定方法① 代数法：函数)(x f y =的零点⇔0)(=x f 的根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点。

（3）零点个数确定0∆>⇔)(x f y =有2个零点⇔0)(=x f 有两个不等实根；0∆=⇔)(x f y =有1个零点⇔0)(=x f 有两个相等实根；0∆<⇔)(x f y =无零点⇔0)(=x f 无实根；对于二次函数在区间[],a b 上的零点个数，要结合图像进行确定.1、二分法（1）二分法的定义:对于在区间[,]a b 上连续不断且()()0f a f b ⋅<的函数()y f x =,通过不断地把函数()y f x =的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;（2）用二分法求方程的近似解的步骤:① 确定区间[,]a b ,验证()()0f a f b ⋅<,给定精确度ε;②求区间(,)a b 的中点c ;③计算()f c ;(ⅰ)若()0f c =,则c 就是函数的零点;(ⅱ) 若()()0f a f c ⋅<,则令b c =(此时零点0(,)x a c ∈);(ⅲ) 若()()0f c f b ⋅<,则令a c =(此时零点0(,)x c b ∈);④判断是否达到精确度ε,即a b ε-<,则得到零点近似值为a (或b );否则重复②至④步.【经典例题】1．函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、32．函数 f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( )A 、(－2，－1)B 、(－1,0)C 、(0,1)D 、(1,2)3．若函数=)(x f x a x a -- (0a >且1a ≠)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .4．设函数f (x )()x R ∈满足f (x -)=f (x )，f (x )=f (2-x )，且当[0,1]x ∈时，f (x )=x 3.又函数g (x )=|x cos ()x π|，则函数h (x )=g (x )-f (x )在13[,]22-上的零点个数为 （ ） A 、5 B 、6 C 、7 D 、85．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ）A 、4B 、5C 、6D 、76．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ）A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 ( )A 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，32B 、(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－1，－34 C 、⎝⎛⎭⎫－1，14∪⎝⎛⎭⎫14，＋∞ D 、⎝⎛⎭⎫－1，－34∪⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 8．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .9．求下列函数的零点：（1）32()22f x x x x =--+； （2）4()f x x x=-.10．判断函数y ＝x 3－x －1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．【课堂练习】1、在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为 （ ） A 、1(,0)4- B 、1(0,)4 C 、11(,)42 D 、13(,)242、若0x 是方程lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 （ ）A 、(0,1)B 、(1,1.25)C 、(1.25,1.75)D 、(1.75,2)3、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )4、函数f ()x =2x +3x 的零点所在的一个区间是 （ ）A ．（-2,-1）B 、（-1，0）C 、（0，1）D 、（1，2）5、设函数f ()x =4sin （2x+1）-x ，则在下列区间中函数f ()x 不存在零点的是 （ ）A 、[-4,-2]B 、[-2,0]C 、[0,2]D 、[2,4]6、函数()x f =x -cos x 在[0，∞+﹚内 （ ）A 、没有零点B 、有且仅有一个零点C 、有且仅有两个零点D 、有无穷多个零点7、若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A 、()41f x x =-B 、2()(1)f x x =-C 、()1x f x e =-D 、1()ln()2f x x =-8、下列函数零点不宜用二分法的是 ( )A 、3()8f x x =-B 、()ln 3f x x =+C 、2()2f x x =++D 、2()41f x x x =-++ 9、函数f(x)=log 2x+2x-1的零点必落在区间 （ ）A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛21,41C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21D 、(1,2)10、01lg =-xx 有解的区域是 （ ） A 、(0,1] B 、(1,10]C 、(10,100]D 、(100,)+∞ 11、在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为 （ ） A 、1(,0)4- B 、 1(0,)4 C 、11(,)42 D 、13(,)2412、函数2()log f x x x π=+的零点所在区间为（ ）A 、1[0,]8B 、11[,]84C 、11[,]42D 、1[,1]213、设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间（ ）A 、(1,1.25)B 、(1.25,1.5)C 、(1.5,2)D 、不能确定14、设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不．存在零点的是（ ） A 、[]4,2-- B 、 []2,0- C 、[]0,2 D 、[]2,415、函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩， 零点个数为（ ）A 、3 B 、2 C 、1 D 、016、若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： f (1) = －2f (1.5) = 0.625 f (1.25) = －0.984 f (1.375) = －0.260 f (1.4375) = 0.162 f (1.40625) = －0.054那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为 （ ）A 、1.2B 、1.3C 、1.4D 、1.517、方程223x x -+=的实数解的个数为 .18、已知函数22()(1)2f x x a x a =+-+-的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围。

19、判断函数232()43f x x x x =+-在区间[1,1]-上零点的个数，并说明理由。

20 、求函数32()236f x x x x =+--的一个正数零点(精确度0.1)．【课后作业】1、下列函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )2、设2()3x f x x =-，则在下列区间中，使函数)(x f 有零点的区间是 ( )A 、[0,1]B 、[1,2]C 、[－2，－1]D 、[－1,0] 3、已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的 （ ）A 、函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点B 、函数)(x f 在(3,5)内无零点C 、函数)(x f 在(2,5)内有零点D 、函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点4、若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 （ ）A 、()2,2-B 、[]2,2-C 、(),1-∞-D 、()1,+∞5、函数x x x f ln )(+=的零点所在的区间为（ ）A 、（－1，0）B 、（0，1）C 、（1，2）D 、（1，e ）6、求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 7、如果二次函数23y x x m =+++有两个不同的零点，则m 的取值范围是 （ ）A 、11(,)4+∞B 、11(,)2-∞C 、11(,)4-∞D 、11(,)2+∞ 8、方程0lg =-x x 根的个数为 （ ） A 、无穷多 B 、3 C 、1 D 、09、用二分法求方程()0f x =在(1,2)内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><f(1)<0，则方程的根在区间 ( )A 、(1.25,1.5)B 、(1,1.25)C 、(1.5,2)D 、不能确定10、设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x) ( ) A 、在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点 B 、在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C 、在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D 、在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 11、设函数21()ln 1(0)2f x x x x =-+>，则函数()y f x = ( ) A 、在区间(0,1)，(1,2)内均有零点 B 、在区间(0,1)内有零点，在区间(1,2)内无零点C 、在区间(0,1)，(1,2)内均无零点D 、在区间(0,1)内无零点，在区间(1,2)内有零点12、用二分法研究函数13)(3-+=x x x f 的零点时，第一次经计算0)5.0(0)0(><f f ，，可得其中一个零点∈0x ， 第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )A 、（0，0.5），)25.0(fB 、（0，1），)25.0(fC 、（0.5，1），)75.0(fD 、（0，0.5），)125.0(f13、函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）A 、0B 、1C 、2D 、314、（已知函数()log (0,1).a f x x x b a a =+->≠且当234a <<<是，函数()f x 的零点*0(,1),,x n n n N ∈+∈则n= .15、用二分法求函数()y f x =在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x 1)<0，则此时零点x 0∈________．16、已知函数 f (x )＝{ 2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数 g (x )＝ f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．17、函数65)(2+-=x x x f 的零点组成的集合是 .18、用“二分法”求方程0523=--x x 在区间[2,3]内的实根，取区间中点为5.20=x ，那么下一个有根的区间是19、函数()ln 2f x x x =-+的零点个数为 .20、证明方程6－3x ＝2x 在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．函数与方程【考纲说明】2、了解函数的零点与方程根的联系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。