H/2LH/2
薄 膜 光 学——基础理论
对称膜系的等效折射率
薄 膜 光 学——基础理论
对称膜系的等效折射率
2.对称组合的等效层 必须是对称膜系； 仅涉及多层薄膜，不包括基片； 对称膜系等效于一单层膜，也即可以替换 成一单层膜。这种等效是数学上的，不是 物理意义上的。 等效层的方法用于多层膜的设计，不是用 于作精确的计算。
薄 膜 光 学——基础理论
本此课的主要内容
•矢量法 •对称膜系的等效折射率 •导纳图解法简介
薄 膜 光 学——基础理论
矢量法
利用组合导纳的递推法或矩阵法计算膜系的反射率虽然 比较严格和精确，计算却较为复杂， 其工作量也较大。 对 于层数较少的减反射膜可以用矢量法作近似计算和设计，这 种方法有两个前提：
E
cos s
上式表示一个周期性对称膜称组合等效折射率E完全相 同，并且它的等效位相厚度等于基本周期的等效位相厚度s 倍．
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对称膜系的等效折射率
L/2HL/2等 效折射率
H/2LH/2
g— 相对波数
L/2HL/2
❖膜层没有吸收；
❖在确定多层膜的特性时只考虑入射波在每
个界面的单次反射；
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矢量法
如果忽略膜层内的多次反射， 则合成的振幅反射系数由每 一界面的反射系数的矢量和 确定。每个界面的反射系数 都联带着一个特定的相位滞 后，它对应于光波从入射表 面进至该界面又回到入射表 面的过程
r r 1 r 2 e 2 i1 r 3 e 2 i 1 2 r 4 e 2 i 1 2 3
Mpq p M M1211
M12 M22
Mpq picpsoipsnp icpsoipnspicqsoiqsnq icqsoiqnsqicpsoipsnp icpsoipnsp
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对称膜系的等效折射率
由于对称膜系的待征矩阵和单层膜的特征矩阵具有相同 的性质，可以假定以相似的形式来表示：
矢量法
R400nm=0.81%
R520nm=0.09%
R650nm=0.49%
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对称膜系的等效折射率
对于单层膜我们可以用一个矩阵M单来表示，对于 一个多层膜可以用一组矩阵的乘积来表示：M多 =M1M2M3…Mn，一般来讲M多中的每一层都是无 吸收介质时，矩阵M多中m11和m22为纯实数，m12 和m21为纯虚数，并且，行列式值为1，但是一般 情况下m11和m22并不相等，这一点与单层膜的性 质是不同的，所以在数学上就不能等同于一个单 层膜。
各层的光学厚度：N1d1=λ/4 N2d2=λ/2 N3d3=λ/4
λ 0=520nm,我们分别计算400nm 520nm 650nm处的反射率
反射系
r1
00
1 1
0.16,r2
11
2 2
0.16,
数分别 为：
r3
22
3 3
0.07,r4
33
4 4
0.04
不同波 长的夹 角：
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薄 膜 光 学——基础理论
矢量法
如果膜层没有吸收那么各个界面的振幅反射系数为实数
r1
0 0
1 1
, r2
1 1
2 2
,
r3
2 2
3 3
, r4
3 3
4 4
各层薄膜的位相厚度为:
12N1d1cos1,2 2N2d2cos2, 3 2N3d3cos3
薄 膜 光 学——基础理论
矢量法
矢量法的计算步骤是首先计算各个界面的 振幅反射系数和各层膜的位相厚度，把各个矢 量按比例地画在同 一张极坐标图上，然后按三 角形法则求合矢量． 求得的合矢量的模即为膜 系的振幅反射系数，幅角就是反射光的位相变 化而能量反射率是振幅反射系数的平方。
M pq p M M 1 21 1 M M 1 22 2 icE so i n s E icso i n s
因此它可以用一层特殊的等效单层膜来描写， 这层等效膜
的折射率E（等效折射率）和位相厚度Γ (等效位相厚度) 可
以由下面方程求得： M 11 M 22 cos ,
M 12
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对称膜系的等效折射率
对于M11的绝对值小于1的情况：
令一个周期性对称膜系 的基本周期的特征矩阵 为：
M
cos
iE sin
i sin
E
cos
膜系的特征矩阵为：
Ms
cos
iE sin
i sin
E
cos
s
可
以
证明：
Ms
cos
s
iE sin s
i sin s
的波长(即决定于膜层的位相厚度)按逆时针方向旋转。界 面上的位相跃变已经包含在振幅反射系数的符号中，不必 另作考虑。
图解法的步骤： 1． 在极坐标图上画出各个矢量； 2． 平行移出构成矢量多边形。
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矢量法
举例：3层膜N0=1 N1=1.38 N2=1.9 N3=1.65 N4=1.52
i E
sin
M 21 iE sin
而在相邻的波长范围 |m11|=|m22|<1, Γ 是实数 E = (m21 /m12 ) 1/ 2也是实数 这些波长区域对应的是通带。
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对称膜系的等效折射率
从M=pqp可以推广到任意多层的对称膜系在数学上都可 以用一个单层膜的特征矩阵所表示。 例如：M=h(u(v(pqp)v)u)h 另：最常用的周期膜系如：M=HLHLHLHLHLH 一方面表示为:M=H(L(H(L(H)L)H)L)H 另一方面可以表示为：M=H/2（H/2LH/2)5H/2的形式 H/2LH/2是一个对称单元
若在所考虑的整个波段内，忽略膜的色散， 则对于所有波长振幅反射系数r1，r2、r3和r4均 相同。
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矢量法
为了避免在作矢量图时方向混乱，我们可以规定： 1． 矢量的模r1, r2, r3, r4…，正值为指向坐标原点负
值为离开原点． 2． 矢量之间的夹角仅决定于膜层的光学厚度和所考察
薄 膜 光 学——基础理论 单层薄膜特征矩阵
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对称膜系的等效折射率
对于以中间一层为中心，两边对称安置的多层膜， 却具有单层膜特征矩阵的所有特点，在数学上存在着 一个等效层，这为等效折射率理论奠定了基础。 下面 我们就以最简单的对称膜系(pqp)为例说明对称膜系在 数学上存在一个等效折射率的概念。这个称膜系的特 征矩阵为：