等效介质的等效光学导纳
k0 E0 e i e i k0 E12 写成矩阵形式： i i e e H k E 1 0 12 0 1 （3）同理，根据E和H的切向分量在界面 2两侧连续可写出在界面 2上： E12 E12 E2 k0 ( E12 E12 ) k0 E12 k0 E12 k0 E2 H12 H12 H 2 1 (k0 E12 ) 1 ( k0 E12 ) 1 (k0 E12 ) 1 (k0 E12 )H0 H 2 1 1 于是，可得： k0 E12 (k0 E2 ) H2 2 21 1 1 k0 E12 (k0 E2 ) H2 2 21
等效介质的等效光学导纳
（ 1 ）用E和H的切向分量在界面两侧 连续的边界条件写出在 界面1上： E0 E11 , E0 E11 E0 E0 E0 E11 E11 E11 H 0 H 0 H 0 H 11 H 11 H 11 于是，可得： k 0 E0 k 0 ( E11 E11 ) H 0 ( H 11 1 (k 0 E11 ) 1 (k 0 E11 ) 1 (k 0 E11 k 0 E11 ) （2）在界面 1， 2的内侧，不同纵坐标、 相同横坐标的两点，只 要改变波的位相因子， 就可确定它们在同一瞬 时的状况。正向行进的 波的位相因子应乘以 exp(i 1 ),而负 2 向行进的波的位相因子 应乘以exp(i 1 )，其中 n1d1 cos1。 i i 即：E12 E11e , E12 E11e ， i i 所以 k 0 E0 k 0 ( E11 E11 ) （k 0 E12）e （k 0 E12 )e i H 0 1 (k 0 E11 k 0 E11 ) （k 0 E12）1e （k 0 E12 )1e i
然后，根据电磁波传播规律，建立E11 与 E12、H11与H12的联系；
之后，同样根据边界条件，建立E12 与 E2 、H12与H2的联系； 至此，就可以得到E0与E2 、H0与H2的联系（具体的数值关系与 膜系和基底的参数N1 、 N2、d1等有关)； 基于等效界面思想，建立 E0与E2 '、H 0与H 2 ' 的联系，又有等效 介质的等效光学导纳Y和介质2的光学导纳的定义式，最终建立Y 与膜系和基底的参数的关系。
图3 单层薄膜的电场
如图3在薄膜上下界面上都有无数次反射，为便于处理，我 们归并所有同方向的波，正方向取+号，负方向取–号。 E11 和E12 是指在界面 1和2上的E1，符号E11 和E12 ，H11 和H12 等具有
同样的意义。
等效介质的等效光学导纳 若要求出r，必须要先知道Y，下面即为等效光学导纳Y的推 导及计算。其基本过程为： 首先，根据边界条件，建立E0与E11 、H0与H11的联系；
（ 2）
T R A 1, A称为能量吸收率，对全 介质薄膜系统，无吸收 ， 则有T R 1 。
若已知两种介质的折射率和光线入射角，就可以得到相 应的（修正）导纳，利用上式就可计算单一界面的反射率和 透射率。
等效界面思想
等效界面思想：任意光学多层膜，无论是介质薄膜或是金 属薄膜组合，都可以用一虚拟的等效界面代替，而且等效 界面的导纳为 Y H 0 E ，如图1所示。
0
图1 多层膜的等效界面
等效介质：薄膜系统和基底组合而成。 将入射介质和等效介质之间的界面称为等效界面，即等效界面两 侧分别是入射介质和等效介质。 入射介质的折射率仍旧是N0，等效介质具有等效光学导纳Y。因 此，整个薄膜系统的反射率就是等效界面的反射率，等效界面的 2 反射率计算公式为： Y R 0 0 Y
光学薄膜技术
单层介质膜的反射率和透射率
等 效 界 面 思 想
主要内容
等效界面思想 单层薄膜的等效界面 等效介质的等效光学导纳 单层介质膜的光学特性 多层介质膜的光学特性
复习
光学导纳 修正导纳 菲涅尔公式
YN 0 0 Ny0
TM波： p
Y
H k0 E

N 0 / 0
r
，
（ 1）
将Y称为介质的光学导纳， 在光波段，即 r 足够接近于 1的情况下，介质的 光学导纳为： Y N y0 式中，自由空间导纳 y0 0 0 ，若以自由空间导纳为 单位，则光学导纳 也可以表示为 YN 。
单一界面的反射率和透射率
两种介质形成的界面对光波的能量反射率和透射率分别为：
单层薄膜的等效界面
单层薄膜的两个界面在数学上可以用一个等效的界面来表示，如 图2。膜层和基底组合的导纳是Y。
根据边界条件，在等效 界面两侧ห้องสมุดไป่ตู้电场、磁场 强度的切向分量连续， 即：
/ E0 E 2 , / H0 H2 / / 等效介质的光学导纳定 义为Y H 2 E2 H 0 E（已将前两式代入）。 0
等效介质的等效光学导纳
i 1 1 cos 1 sin 1 ( k 0 E0 ) (k 0 E2 ) 1 Y i sin cos 1 2 1 1 i B cos 1 sin 1 1 令 1 , 则上式可改写为： C i sin cos 1 2 1 1 1 B ( k 0 E0 ) ( k 0 E 2 ) 解得 Y C B Y C i cos sin 1 1 称为该膜层的特征矩阵 矩阵 ，由薄层参数唯一确定 ， 1 i1 sin 1 cos 1 它包含了薄膜的全部有 用参数，其中 P 分量：1 2
1 k0 E12 2 写成矩阵形式： 1 k0 E12 2 1 21 k0 E2 1 H2 21
等效介质的等效光学导纳
k E k E （4）综合（ 2）和（ 3），建立 0 0 与 0 2 的数值关系 H0 H2 1 1 k 0 E12 2 21 k 0 E 2 将（3）中的矩阵 1 1 k E H 2 12 0 21 2 i i k E e e k 0 E12 可得 带入（2）中的矩阵 0 0 i i 1e k 0 E12 H 0 1e 1 1 i i i k 0 E0 e e 2 21 k 0 E 2 cos 1 sin 1 k 0 E 2 1 i i 1 1 1e H 2 i sin H 0 1e cos 1 H 2 1 1 21 2 上式就把入射界面的 E0 和H 0的切向分量与透过最后 界面的E2 和H 2的切向分量 联系起来。
2 2

1s 2 4 0 s1s t 2 0s （ 0 1）
光学导纳
电磁波是横波，电场矢 量 E与磁场矢量H 相互垂直，且各自都与 波的传播 方向k 0垂直并符合右旋法则。 对于介质中的任一点， E与H不但相互垂直，而且数 值间也有一定比比例 : Y H k0 E N 0 / 0
式中
/ / H2 , E2
图2 单层薄膜的等效界面
根据边界条件可以知道：Y=H0/E0。于是如同单一界面的情形， Y 单层膜的反系数可表示为： r 0 0 Y
等效介质的等效光学导纳 只要确定了组合导纳Y，就可以方便地计算单层膜的反射和 透射特性。因此问题就归结为求取入射界面上的H0和E0的比 值。下面推导组合导纳的表达式。
等效介质的等效光学导纳
（5）运用等效界面思想， 建立Y与膜系和基底参数 的的关系 对于介质（基底）有： 2 H 2 2 (k 0 E 2 )； ' ' 又根据等效界面思想， 对于等效介质有： H 2 Y (k 0 E 2 ),根据边界条件（针对 ' ' 等效界面），有 H 2 H 0 , E 2 E0 , 将其带入上式可得： H 0 Y (k 0 E0 )； i k E cos 1 sin 1 k 0 E 2 将H 2 和H 0带入（4）的矩阵 0 0 1 ，即可得 H 0 i1 sin 1 cos 1 H 2 i k 0 E0 cos 1 sin 1 k 0 E 2 1 Y (k 0 E0 ) i1 sin 1 cos 1 2 (k 0 E 2 ) i 1 1 cos 1 sin 1 (k 0 E0 ) (k 0 E2 ) 1 2 Y i sin cos 1 1 1
E 0 1 0 1 I 2 R r r 2 r Ii Ei 0 1 0 1 I t N1 cos1 Et T I i N 0 cos 0 Ei
2 2 2

1s 2 4 0 s1s t 2 0 s （ 0 1）
r
TE波： s N cos N cos
r 0 1 0 1
2

t
0s 0 1

2
单一界面的反射率和透射率
E 0 1 0 1 I 2 R r r 2 r Ii Ei 0 1 0 1 N cos1 Et I T t 1 I i N 0 cos 0 Ei