2013年湖北省理科数学高考试题一、选择题 1、在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2、已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B =I （ ）A.{}|0x x ≤B.C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或3、在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A.()()p q ⌝∨⌝B. ()p q ∨⌝C. ()()p q ⌝∧⌝D.p q ∨ 4、将函数()3cos sin y x x x R =+∈的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.12πB.6π C. 3π D. 56π 5、已知04πθ<<，则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的（ ）A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等6、已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ，则向量AB u u u r 在CD u u ur 方向上的投影为（ ）A.322 B.3152 C. 322- D.3152- 7、一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ）A. 125ln5+B. 11825ln3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A. 1243V V V V <<<B. 1324V V V V <<<C. 2134V V V V <<<D. 2314V V V V <<<9、如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体。

经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为()E X =A.126125 B. 65 C. 168125 D. 75第9题图10、已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A. 121()0,()2f x f x >>-B. 121()0,()2f x f x <<- C.121()0,()2f x f x ><-D. 121()0,()2f x f x <>-二、填空题（一）必考题11、从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图所示。

（I ）直方图中x 的值为 ；（II ）在这些用户中，用电量落在区间[)100,250内的户数为。

第11题图12、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i = 。

13、设,,x y z R ∈，且满足：2221x y z ++=，2314x y z ++=，则x y z ++= 。

14、古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。

如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+。

记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式： 三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =-否1i i =+?4a =10, 1a i == 开始是结束a 是奇数?31a a =+2a a =是否输出i……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 。

（二）选考题15、如图，圆O 上一点C 在直线AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E 。

若3AB AD =，则CEEO的值为 。

16、在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩()0a b ϕ>>为参数，。

在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为2sin 42m πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()m 为非零常数与b ρ=。

若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 。

三、解答题17、在ABC ∆中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 。

已知()cos23cos 1A B C -+=。

（I ）求角A 的大小；（II ）若ABC ∆的面积53S =，5b =，求sin sin B C 的值。

18、已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =。

（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥L ？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由。

19、如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点。

（I ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（II ）设（I ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满OD E BA第15题图C第19题图足12DQ CP =u u u r u u u r。

记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=。

20、假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布()2800,50N 的随机变量。

记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p 。

（I ）求0p 的值；（参考数据：若()2,X N μσ:，有()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9974P X μσμσ-<<+=。

）（II ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆。

公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆。

若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？21、如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2n ()m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D 。

记mnλ=，BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S 。

（I ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（II ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由。

22、设n 是正整数，r 为正有理数。

（I ）求函数()()1()111(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；（II ）证明：()()11111111r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<++；OxyBA 第21题图CDMN（III ）设x R ∈，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，4π=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥。

令3333818283125S =+++L，求S ⎡⎤⎢⎥的值。

（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）。