绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)数 学(理科)一、 选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1、已知集合A=｛x |x 2－2x ＞0｝，B=｛x |－5＜x ＜5｝，则 ( ) A 、A∩B=∅B 、A ∪B=RC 、B ⊆AD 、A ⊆B【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题. 【解析】A=(-∞,0)∪(2,+∞), ∴A ∪B=R,故选B.2、若复数z 满足错误!未找到引用源。
(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为()A 、－4（B ）－45错误!未找到引用源。
（C ）4（D ）45【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.【解析】由题知z =|43|34i i +-==3455i+，故z 的虚部为45，故选D.3、为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ( )A 、简单随机抽样B 、按性别分层抽样错误!未找到引用源。
C 、按学段分层抽样D 、系统抽样【命题意图】本题主要考查分层抽样方法，是容易题.【解析】因该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样，故选C.4、已知双曲线C ：22221x y a b -=（0,0a b >>）的离心率为2，则C 的渐近线方程为A .14y x =± B .13y x =± C .12y x=± D .y x =± 【命题意图】本题主要考查双曲线的几何性质，是简单题.【解析】由题知，52c a=，即54=22c a =222a b a +，∴22b a =14，∴b a =12±，∴C 的渐近线方程为12y x=±，故选C . 5、运行如下程序框图，如果输入的[1,3]t ∈-，则输出s 属于A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]【命题意图】本题主要考查程序框图及分段函数值域求法，是简单题.【解析】有题意知，当[1,1)t ∈-时，3s t =[3,3)∈-，当[1,3]t ∈时，24s t t =-[3,4]∈，∴输出s 属于[-3,4]，故选A .6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( ) A 、500π3cm3B 、866π3cm3错误!未找到引用源。
C 、1372π3cm3D 、2048π3cm3【命题意图】本题主要考查球的截面圆性质、球的体积公式，是容易题.【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则222(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453π⨯=500π33cm ，故选A. 7、设等差数列{an}的前n 项和为Sn ，1m S -＝－2，mS ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( )A 、3B 、4错误!未找到引用源。
C 、5D 、6【命题意图】本题主要考查等差数列的前n 项和公式及通项公式，考查方程思想，是容易题.【解析】有题意知m S =1()2m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2，1m a +=1m S +-mS =3，∴公差d =1m a +-ma =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A .168π+B .88π+C .1616π+D .816π+【命题意图】本题主要考查简单组合体的三视图及简单组合体体积公式，是中档题.【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为21244222π⨯⨯+⨯⨯ =168π+，故选A .9、设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a =7b ，则m ＝ ( ) A 、5B 、6错误!未找到引用源。
C 、7D 、8【命题意图】本题主要考查二项式系数最大值及组合数公式，考查方程思想，是容易题.【解析】由题知a =2m m C ，b =121m m C ++，∴132m m C =7121m m C ++，即13(2)!!!m m m ⨯=7(21)!(1)!!m m m ⨯++， 解得m =6，故选B.10、已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点。
若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 ( )A 、x245＋y236＝1B 、x236＋y227＝1错误!未找到引用源。
C 、x227＋y218＝1D 、x218＋y29＝1 【命题意图】本题主要考查椭圆中点弦的问题，是中档题. 【解析】设1122(,),(,)A x yB x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b += ① 2222221x y a b += ②①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D.11、已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩，若|()f x |≥ax ，则a 的取值范围是 A .(,0]-∞ B .(,1]-∞ C .[-2,1] D .[-2,0]【命题意图】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题。
【解析】∵|()f x |=22,0ln(1),0x x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，∴由|()f x |≥ax 得，202x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩且0ln(1)x x ax >⎧⎨+≥⎩， 由22x x x ax ≤⎧⎨-≥⎩可得2a x ≥-，则a ≥-2，排除Ａ，Ｂ， 当a =1时，易证ln(1)x x +<对0x >恒成立，故a =1不适合，排除C ，故选D. 12、设△AnBnCn 的三边长分别为an,bn,cn ，△AnBnCn 的面积为Sn ，n=1,2,3,… 若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an ＋1＝an ，bn ＋1＝cn ＋an 2，cn ＋1＝bn ＋an2，则( )A 、{Sn}为递减数列B 、{Sn}为递增数列错误!未找到引用源。
C 、{S2n －1}为递增数列，{S2n}为递减数列D 、{S2n －1}为递减数列，{S2n}为递增数列 【命题意图】 【解析】B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13、已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____. 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积，是容易题. 【解析】b c =[(1)]t t •+-b a b =2(1)t t •+-a b b =112t t +-=112t -=0，解得t =2. 14、若数列{n a }的前n 项和为S n ＝2133n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______. 【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n 项与其前n 项和的关系，是容易题.【解析】当n =1时，1a =1S =12133a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=12233n n a a --，即n a =12n a --，∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1(2)n --.15、设当x =θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cosθ=______【命题意图】本题主要考查逆用两角和与差公式、诱导公式、及简单三角函数的最值问题，是难题.【解析】∵()f x =sin 2cos x x -=5255(sin cos )55x x - 令cos ϕ=55，25sin 5ϕ=-，则()f x =5(sin cos sin cos )x x ϕϕ+=5sin()x ϕ+， 当x ϕ+=2,2k k z ππ+∈，即x =2,2k k z ππϕ+-∈时，()f x 取最大值，此时θ=2,2k k z ππϕ+-∈，∴cos θ=cos(2)2k ππϕ+-=sin ϕ=255-. 16、若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是______.【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题. 【解析】由()f x 图像关于直线x =－2对称，则 0=(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+，0=(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15， ∴()f x =22(1)(815)x x x -++，∴()f x '=222(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++-=4(2)(25)(25)x x x -++++-当x ∈(－∞,25--)∪(－2, 25-+)时，()f x '＞0， 当x ∈(25--,－2)∪(25-+,+∞)时，()f x '＜0，∴()f x 在（－∞，25--）单调递增，在（25--，－2）单调递减，在（－2，25-+）单调递增，在（25-+，+∞）单调递减，故当x =25--和x =25-+时取极大值，(25)f --=(25)f -+=16.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。