2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析一、选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合{}{2|20,|A x x x B x x =->=<，则 ( ) A.A∩B=∅ B.A ∪B=R C.B ⊆AD.A ⊆B考点 ：集合的运算 解析：A=(-,0)∪(2,+), ∴A ∪B=R.答案：B2.若复数z 满足(34)|43|i z i -=+，则z 的虚部为()A .4-B .45-C .4D .45考点 ：复数的运算 解析：由题知===，故z 的虚部为.答案：D3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是 ()A .简单随机抽样B .按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样考点 ：抽样的方法解析：因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段分层抽样.答案：C 4.已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为A.B.C.12y x =±D.考点 ：双曲线的性质解析：由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为.答案：C5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s 属于A.[3,4]- B .[5,2]- C.[4,3]- D.[2,5]- 考点 ：程序框图 解析：有题意知，当时，，当时，，∴输出s 属于[-3,4]. 答案：A6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( )A .35003cm π B .38663cm π C. 313723cm π D. 320483cm π 考点 ：球的体积的求法解析：设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则，解得R=5，∴球的体积为35003cm π=. 答案：A7.设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==，则m = ( ) A .3B .4C.5D.6考点 ：等差数列解析：有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，= -=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5.答案：C8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+ 考点 ：三视图解析：由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为=.答案：A 9.设m 为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若137a b =，则m = ( )A .5B.6C.7D.8考点 ：二项式的展开式 解析：由题知=，=，∴13=7，即=，解得=6.答案：B10.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点。
若AB的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为 ()A .2214536x y +=B .2213627x y +=C.2212718x y += D.221189x y +=考点 ：椭圆的概念与性质 解析：设，则=2，=－2，① ②①－②得，∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，=18，∴椭圆方程为.答案：D11.已知函数()f x =，若||≥，则的取值范围是A ．B ．C ．[2,1]-D ．[2,0]-考点 ：解不等式组，对数函数 解析：∵||=，∴由||≥得，且，由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C.答案：D12.设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ，n n n A B C ∆的面积为n S ，1,2,3,n =，若11111,2b c b c a >+=，111,,22n n n n n n n n c a b aa abc +++++===，则( ) A .{S n }为递减数列B .{S n }为递增数列C.{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D.{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列考点 ：n S 的求法 解析：略 答案：B二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t)b ，若b ·c =0，则t =_____. 考点 ：向量的数量积 解析：=====0，解得=.答案：= 14.若数列{}的前n 项和为S n ＝，则数列{}的通项公式是=______.考点 ：等比数列 解析：当=1时，==，解得=1，当≥2时，==－()=，即=，∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.答案：=15.设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______ 考点 ：求三角函数的最值 解析：∵==令=，，则==，当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.答案：===16.若函数=的图像关于直线2x =-对称，则的最大值是______.考点 ：图像的性质解析：由图像关于直线=－2对称，则 0==，0==，解得=8，=15，∴=，∴===当∈(－∞,)∪(－2, )时，＞0， 当∈(,－2)∪(,+∞)时，＜0，∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，==16.答案：16三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB= 3 ，BC=1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°(1)若PB=12，求PA ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠P BA考点 ：余弦定理，正弦定理 解析：（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30o，在△PBA 中，由余弦定理得==，∴PA=；，（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA 中，由正弦定理得，，化简得，，∴=，∴=.18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，∠BA A1=60°.（Ⅰ）证明AB⊥A1C;（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值。
考点：线与线垂直证明，线与面所成角的求法解析：（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，∵AB=，=，∴是正三角形，∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB⊥面，∴AB⊥；（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，∴EC⊥，∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(－1,0,0),则=（1,0，）,==(－1,0, ),=(0,－,), ……9分设=是平面的法向量，则，即，可取=（，1，-1），∴=，∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n。
如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立（1）求这批产品通过检验的概率；（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望。
考点：求事件发生的概率、期望解析：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品通过检验为事件E，根据题意有E=(AB)∪(CD),且AB与CD互斥，∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，∴X的分布列为PEX=400×+500×+800×=506.2520.(本小题满分12分)已知圆:,圆:,动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 C.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.考点：椭圆的概念，直线与椭圆位置关系解析：由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为(1,0),半径=3.设动圆的圆心为（，），半径为R.（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为.（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2,当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R=2.∴当圆P的半径最长时，其方程为，当的倾斜角为时，则与轴重合，可得|AB|=.当的倾斜角不为时，由≠R知不平行轴，设与轴的交点为Q，则=，可求得Q（-4，0），∴设：，由于圆M相切得，解得.当=时，将代入并整理得，解得=，∴|AB|==.当=－时，由图形的对称性可知|AB|=，综上，|AB|=或|AB|=.21.（本小题满分共12分）已知函数＝，＝，若曲线和曲线都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线（Ⅰ）求，，，的值；（Ⅱ）若≥－2时，≤，求的取值范围。
考点：求函数的导数、解不等式解析：（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设函数==（），==，有题设可得≥0，即，令=0得，=，=－2，（1）若，则－2＜≤0，∴当时，＜0，当时，＞0，即在单调递减，在单调递增，故在=取最小值，而==≥0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(2)若，则=，∴当≥－2时，≥0，∴在(－2,+∞)单调递增，而=0，∴当≥－2时，≥0，即≤恒成立，(3)若，则==＜0，∴当≥－2时，≤不可能恒成立，综上所述，的取值范围为[1,].22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D。