高中数学平面向量习题及答案 第 2 页 共 15 页 第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，则( )． A．AB与AC共线 B．DE与CB共线 C．AD与AE相等 D．AD
与BD相等
2．下列命题正确的是( )． A．向量AB与BA是两平行向量 B．若a，b都是单位向量，则a＝b C．若AB＝DC，则A，B，C，D四点构成平行四边形 D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC＝OA＋OB，其中 ，∈R，且＋＝1，则点
C的轨迹方程为( )． A．3x＋2y－11＝0 B．(x－1)2＋(y－1)2＝5
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C．2x－y＝0 D．x＋2y－5＝0 4．已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是( )． A．6 B．3 C．23
D．56 5．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A，C)，则AP＝( )． A．λ(AB＋AD)，λ∈(0，1) B．λ(AB
＋BC)，λ∈(0，22)
C．λ(AB－AD)，λ∈(0，1) D．λ(AB
－BC)，λ∈(0，22)
6．△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则DF＝( )． A．EF＋ED B．EF－DE C．EF＋AD D．EF＋AF 7．若平面向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为( )． A．2 B．4 C．6 D．12 第 4 页 共 15 页
8．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的( )． A．三个内角的角平分线的交点 B．三条边的垂直平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为( )． A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形 10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥
AB∥CD则相等向量是( )． A．AD与BC B．OA与OB C．AC与BD D．EO与OF 二、填空题 11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC
＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k
＝ ． 12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x＝ ．
(第10题) 第 5 页 共 15 页
13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于 ． 14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋mb)⊥(a－b)，则实数m等于 ． 15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的 ． 第 6 页 共 15 页
16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是 ． 三、解答题 17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求 λ为何值时，点P在第三象限内？
18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．
(第18题) 第 7 页 共 15 页 第 8 页 共 15 页
19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．
20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．
(第19题) 第 9 页 共 15 页
参考答案 一、选择题 1．B 解析：如图，AB与AC，AD与AE不平行，AD与BD共线反向． 2．A 解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若AB＝DC，可能A，B，C，D四点共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也不对． 3．D 解析：提示：设OC＝(x，y)，OA＝(3，1)，
OB＝(－1，3)，OA＝(3，)，OB＝(－，3)，又OA＋OB＝(3－，＋3)， ∴ (x，y)＝(3－，＋3)，∴33＋＝－＝yx ，
又＋＝1，由此得到答案为D． 4．B 解析：∵(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b， ∴(a－2b)·a＝a2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0， ∴ a2＝b2，即|a|＝|b|．∴|a|2＝
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2|a||b|cos θ＝2|a|2cosθ．解得cos θ＝21． ∴ a与b的夹角是3π． 5．A 解析：由平行四边形法则，AB＋AD＝AC，又
AB＋BC＝AC，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)． 6．D 解析：如图，∵AF＝DE， ∴ DF＝DE＋EF＝EF＋AF．
(第6题) 7．C
解析：由(a＋2b)·(a－3b)＝－72，得a2－a·b－6b2＝－72． 而|b|＝4，a·b＝|a||b|cos 60°＝2|a|， ∴ |a|2－2|a|－96＝－72，解得|a|＝6． 8．D 解析：由 OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，得OA·OB
＝OC·OA,
即OA·(OC－OB)＝0， 故BC·OA＝0，BC⊥OA，同理可证AC⊥OB， 第 11 页 共 15 页
∴ O是△ABC的三条高的交点． 9．C 解析：∵AD＝AB＋BC＋DC＝－8a－2b＝2BC，∴AD∥BC且|AD|≠|BC|． ∴ 四边形ABCD为梯形． 10．D 解析：AD与BC，AC与BD，OA与OB方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A，B，C三点共线等价于AB，BC共线， AB
＝OB－OA＝(4，5)－(k，12)＝(4－k，
－7)，
BC＝OC－OB＝(－k，10)－(4，5)＝(－k－4，5)， 又 A，B，C三点共线， ∴ 5(4－k)＝－7(－k－4)，∴ k＝－32． 12．－1． 解析：∵ M(－1，3)，N(1，3)， ∴ MN＝(2，0)，又a＝MN， ∴ 0＝4－3－2＝3＋2xxx 解得4＝1＝－1＝－xxx或 第 12 页 共 15 页
∴ x＝－1． 13．－25． 解析：思路1：∵ AB＝3，BC＝4，CA＝5， ∴ △ABC为直角三角形且∠ABC＝90°，即AB⊥BC，∴AB·BC＝0， ∴ AB·BC＋BC·CA＋CA·AB ＝BC·CA＋CA·AB ＝CA·(BC＋AB) ＝－(CA)2 ＝－2CA ＝－25． 思路2：∵ AB＝3，BC＝4，CA＝5，∴∠ABC＝90°，
∴ cos∠CAB＝CAAB＝53，cos∠BCA＝CABC＝54．
根据数积定义，结合图(右图)知AB·BC＝0， BC·CA＝BC·CAcos∠ACE＝4×5×(－54)＝－16， CA·AB＝CA·ABcos∠BAD＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB·BC＋BC·CA＋CA·AB＝0―16―9＝－25．
D (第13题) 第 13 页 共 15 页
14．323． 解析：a＋mb＝(3＋2m，4－m)，a－b＝(1，5)． ∵ (a＋mb)⊥(a－b)， ∴ (a＋mb)·(a－b)＝(3＋2m)×1＋(4－m)×5＝0m＝323． 15．答案：重心． 解析：如图，以OA，OC为邻边作□AOCF交AC于点E，则OF＝OA＋OC，又 OA＋OC＝－
OB， ∴ OF＝2OE＝－OB．O是△ABC的重心． 16．答案：平行四边形． 解析：∵ a＋c＝b＋d，∴ a－b＝d－c，∴
BA＝CD． ∴ 四边形ABCD为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1． 解析：设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)．
AB＋λAC＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］
(第15题)