平面向量板块测试第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(12×5′＝60′)1.下列五个命题：①|a 2|=2a ;②ab ab a =⋅2;③222)(b a b a ⋅=⋅;④2222)(b b a a b a +⋅-=-;⑤若a ·b =0,则a =0或b =0.其中正确命题的序号是 ( )A.①②③B.①④C.①③④D.②⑤2.若AB =3e ,=-5e 且|AD |=|，则四边形ABCD 是 ( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形 3.将函数y =sin x 按向量a ＝(1,-1)平移后，所得函数的解析式是 ( ) A.y ′=sin(x ′-1)-1 B.y ′=sin(x ′+1)-1 C.y ′=sin(x ′+1)+1 D.y ′=sin(x ′-1)+14.若有点1M (4，3)和2M (2，-1)，点M 分有向线段21M M 的比λ＝-2，则点M 的坐标为 ( )A.(0，-35)B.(6，7)C.(-2，-37) D.(0，-5) 5.若|a +b |=|a -b |，则向量a 与b 的关系是 ( )A.a =0或b =0B.|a |=|b |C.ab =0D.以上都不对 6.若|a |=1，|b |=2，|a +b |=7，则a 与b 的夹角θ的余弦值为 ( ) A.-21 B.21 C.31D.以上都不对 7.已知a =31e -42e ,b =(1-n )1e +3n 2e ,若a ∥b 则n 的值为 ( ) A.-54 B.54C.4D.2 8.平面上三个非零向量a 、b 、c 两两夹角相等，|a |=1，|b |=3,|c |=7,则|a +b +c |等于( )A.11B.27C.4D.11或27 9.等边△ABC 中,边长为2,则·BC 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-210.已知△ABC 中，)(2222444b a c c b a +=++，则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.45°或135° D.120° 11.将函数y =f (x )cos x 的图象按向量a =(4π,1)平移，得到函数x y 2sin 2=的图象，那么函数f (x )可以是 （ ）A.cos xB.2cos xC.sin xD.2sin x12.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3,1),B (-1,3)，若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1,则点C 的轨迹方程为 ( )A.3x +2y -11=0B.5)2()1(22=-+-y xC.2x -y =0D.x +2y -5=0第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(4×4′＝16′)13.已知|a |=3,|b |=5,a ·b =12,则a 在b 上的投影为 .14.设a =(-4,3),b =(5,2),则2|a 2|-21ab ＝ . 15.已知a =(6,2),b =(-4,21),直线l 过点A (3,-1),且与向量a +2b 垂直，则直线l 的一般式方程是 .16.把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移后，得到22x y =的图象，且a ⊥b ,c =(1,-1),b ·c =4,则b = . 三、解答题(5×12′+14′＝74′)17.若向量a 的始点为A (-2，4)，终点为B (2，1).求： (1)向量a 的模.(2)与a 平行的单位向量的坐标. (3)与a 垂直的单位向量的坐标.18.设两向量1e 、2e 满足|1e |=2，|2e |=1,1e 、2e 的夹角为60°，若向量2t 1e +72e 与向量1e +t 2e 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.19.已知向量a =(x 23cos,x 23sin ),b =(2cos x ,2sin x -),且x ∈［-3π,4π］.（1）求a ·b 及|a +b |;（2）若f (x )=a ·b -|a +b |,求f (x )的最大值和最小值.20.设a =(-1-x )i ,b =(1-x )i +y j (x 、y ∈R ,i 、j 分别是x 、y 轴正方向上的单位向量)，且|a |=|b |. (1)求点M (x ,y )的轨迹C 的方程；(2)过点(4,0)作直线l 交曲线C 于A 、B 两点，设OP =OA +OB ，求证：四边形OAPB 为矩形.21.已知△ABC 的顶点为A (0，0)，B (4，8)，C (6，-4).M 点在线段AB 上，且AM =3MB ，P 点在线段AC 上，△APM 的面积是△ABC 的面积的一半，求点M 、P 的坐标.22.如图所示，有两条相交成60°角的直路XX ′和YY ′，交点是O ，甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3 km ，乙离O 点1 km ，后来两人同时用4 km/h 的速度，甲沿XX ′方向，乙沿Y ′Y 的方向步行.(1)起初，两人的距离是多少?(2)用包含t 的式子表示t h 后两人的距离. (3)什么时候两人的距离最短?参考答案第22题图1.B 由向量的数量积的定义即知.2.C ∵AB ∥CD ,且AD =BC ,AB ≠CD ,故选C.3.A 点(x ,y )按向量a ＝（1，-1）平移后的点(x ′,y ′)，∴⎩⎨⎧-='+='11y y x x 即 ⎩⎨⎧+'=-'=11y y x x∴y ′+1＝sin(x ′-1),即y ′=sin(x ′-1)-1.4.D 设点M (x ,y )，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--⨯-==-⨯-=521)1(23021224y x∴点M 的坐标为(0,-5).5.C 设a =(1x ,1y )，b =(2x ,2y )，由|a +b |=|a -b |，得221221221221)()()()(y y x x y y x x -+-=+++，即1x 2x ＋1y 2y ＝0. 又a ·b =1x 2x ＋1y 2y ，∴ab ＝0.6.B |a +b |2|=α⋅⋅-+cos ||||2||||22b a b a ,∴7=1+4-4cos α即cos α=-21，∴a 与b 的夹角θ的余弦值为21. 7.A ∵a =(3,-4),b =(1-n ,3n ),∴9n =-4(1-n ),∴n =-54,故选A.8.D 若两两夹角为0°,则|a +b +c |=|a |+|b |+|c |=11; 若两两夹角为120°,则|a +b +c 2|=|a 2|+|b 2|+|c 2|+2|a ||b |cos120°+2|b ||c |cos120°+2|a ||c |cos120° =1+9+49+2×(-21)×(1×3+3×7+1×7)=28,|a +b +c |=27. 9.D AB ·BC =22·cos120°=-2.故选D. 10.C 由)(2222444b a c c b a +=++， 得2222222)(b a c b a =-+，∴222c b a -+=±2ab =2abc cos C ，∴cos C =±22,∴C =45°或135°. 11.D 由平移公式，应有x x f x cos )(1)4(sin 22=-π+. 即 x x f x x cos )(2sin )22cos(==π+-,∴f (x )=2sin x . 12.D 设C (x ,y ),∵OC =αOA +βOB ,∴(x ,y )=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).∴⎩⎨⎧β+α=β-α=33y x 又∵α+β=1,∴x +2y -5=0.13.512 ∵a ·b =|a |·|b |·cos θ,∴a 在b 上的投影为512. 14.57 2|a 2|-21·a ·b =2(16＋9)- 21(-20+6)=50+7=57.15.2x -3y -9=0 设l 的一个方向向量为(m ,n ).a +2b =(-2,3),直线l 与向量a +2b 垂直，即-2m +3n =0,直线l 的斜率k =32=m n ,直线l 的方程为y +1=32(x -3),即2x -3y -9=0. 16.(3,-1) 22)1(23542-=-+-=x y x x y , ∴a =(-1,-3),设b =(0x ,0y ),则⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=-=--13403000000y x y x y x .17.解 (1)a ＝＝（2，1）-（-2，4）=（4，－3），∴|a |＝5)3(422=-+. (2)与a 平行的单位向量是±||a a＝±51(4，-3)=(54，-53)或(-54，53). (3)设与a 垂直的单位向量是e =(m ,n )，则a ·e ＝4m -3n ＝0,∴43=n m . 又∵|e |＝1，∴122=+n m .解得m =53,n =54或m =-53,n =-54. ∴e ＝(53，54)或(-53，-54). 18.解 21e =4,22e =1,21e e ⋅=2×1×cos60°=1,∴(2t 1e +72e )·(1e +t 2e )=2t 21e +(22t +7) 1e ·2e +7t 22e =22t +15t +7.∴22t +15t +7<0,∴-7<t <-21. 设2t 1e +72e =λ(1e +t 2e )(λ<0)⇒⎩⎨⎧λ=λ=t t 72 ⇒22t =7⇒t =-214,∴λ=-14.∴当t =-214时，2t 1e +72e 与1e +2e 的夹角为π, ∴t 的取值范围是(-7,-214)∪(-214,-21).19.解 (1)a ·b =cos23x cos 2x -sin 23x sin 2x=cos2x . |a |=|b |=1,设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=x xb a b a 2cos 112cos ||||=⨯=⋅.∴|a +b 2|=2a +2a ·b +2b =1+2×1×1·cos2x +1=2+2cos2x =4x 2cos cos2x , 又x ∈［-3π,4π］,cos x >0,∴||b a +=2cos x . (2)f (x )=cos2x -2cos x =223)21(cos 21cos 2cos 22--=--x x x . ∵x ∈［-3π,4π］,∴21≤cos x ≤1. ∴当cos x =21时，f (x )取得最小值-23;当cos x =1时，f (x )取最大值-1.20.(1)解 由已知|a |=|b |，即222)1()1(y x x +-=--, 整理得 x y 42= ①(2)证明 由已知只需证OA ⊥OB 即可，即证OA ·OB =0.设A (1x ,1y ),B (2x ,2y ), 当l ⊥x 轴时，A (4,4),B (4,-4),∴1x 2x +1y 2y =0,即OA ⊥OB . 当l 不与x 轴垂直时，设l 的斜率为k ，l 的方程为y =k (x -4)(k ≠0)， ② 将②代入①得016)48(2222=++-k k x x k . ∴22148k x x +=+,1x 2x =16. 1y 2y =16]16)48(416[)4)(4(22212-=++-=--k k x x k . ∴1x 2x +1y 2y =0,∴⊥.故得证.21.解 如图，M 分AB 的比λ＝3，则M 的坐标为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+⨯+==+⨯+=631830331430M M y x由21=∆∆ABCAMPS S ，得21sin 21sin 21=⋅⋅⋅⋅A AC AB AAP AM .又∵43=AB AM ，∴32=AC AP . ∴12=PC AP ，即P 分AC 所成的比λ＝2. 第21题图解则M (3，6)，P (4，-38)为所求. 22.解 (1)设甲、乙两人起初的位置是A 、B ，则由余弦定理︒⋅⋅-+=60cos 2222OB OA OB OA AB ＝2213+－2×3×1×21＝7. 所以甲、乙两人的距离是AB ＝7km.(2)设甲、乙两人t h 后的位置分别是P 、Q ，则AP ＝4t ,BQ ＝4t . 当0≤t ≤43时，由余弦定理得︒⋅+⋅--++-=60cos )41()43(2)41()43(222t t t t PQ ， 当t >43时，︒⋅+⋅--++-=120cos )41()34(2)41()34(222t t t t PQ . 注意到上面两式实际上是统一的，所以 即PQ ＝724482+-t t .(3)∵4)41(482+-=t PO ，∴当t =41时，PQ 的最小值是2.即在第15 min 末PQ 最短.。