Hy = Bve-v x e-jkzz
Ez
=
-B jωε0
v2e-vxe- jkzz
Ez
=
B jωε0
v2evxe- jkzz
x<a 2
x >a x a2
2 x-a
2
根据 Ez 和 H y 在 x a 2 处需满足的条件，也就是电 场和磁场在边界处连续，即在边界处电场和磁场分别相等。
由此得到下面的方程：
（5.1.18）
该公式就是决定偶TM模的截止频率和 k z的特征方程。
▪平板介质波导的截止频率和截止波长与金属波导有一些
不同，当频率高于截止频率时，介质波导传输波是无衰
减的，这时 kz是实数。低于截止频率时，就产生衰减，
这时 k z= j 。波在传输时有衰减，就必须计算能量的
减少。由于介质波导是无损耗传输波的，那么衰减就只
选择 k0 jv 和 kd u ，使公式更简洁些。
从上面的公式可以得到分离参数方程为
u2 + kz2 = kd2 = ω2εdμd -v2 + kz2 k02 = ω2ε0μ0
（5.1.15）
把上面的分离参数方程代入公式（5.1.12）就得到方程
Ez
A u2 sin uxe jkzz
j d
H y = -Au cos uxe- jkzz
5.1平板介质波导
5.1.1标量波函数
标量波函数是矢量波函数的基础 ，矢量波动方程的直 角分量满足标量波动方程。
在介绍平板介质波导之前，先简单介绍标量波函数。 在直角坐标系中，波动方程为：
用分离变量法解上述方程。令
（5.1.1）
代入式（5.1.1）得到： 上式中的各项相互独立，分解为：
其中
为分离常数，它们满足：
能是波在传输过程中向周围辐射引起的。也就是说介质
波导可以用作天线（要求传输波的频率低于截止频率）。
无衰减模的 必须界于介质的相位常数 和空气的
常数 之间，k即z ：
kd
k0
<<
（5.1.23）
k0 kz kd
本节讨论的特征方程解是v为实数时的情况。
根频据率前趋面于的截讨止论频，率当，这k z时vk0
பைடு நூலகம்
kx
➢对于 h(kx ) = coskxx,sinkxx ：
当
k
为实数时代表纯驻波；当
x
k
为复数时代表局部驻波。
x
分别称为沿x,y,z方向的波数,用一个矢量表示
为kx , k y , kz
(5.1.8)
k = kxex kyey +kzez
于是基本波函数
（5.1.9）
φ = e e e - jkxx - jky y - jkzz
波导结构以z轴对称,图其5中.1.1a平表板示介介质波质导的厚度,.上半平面在
x=/2处,下半平面在x = -/2处。ε0 , μ0和 d , d 分别为自由
空间及介质的介电常数和磁导率。
若把问题放在二维里考虑，且设在y方向波函数无变化， 即： ＝0。波沿z方向传播，用 e-jkzz 表示波沿z方向的变 化。y •对于TM波，我们取Ａ＝ｕｘφｍ，得到场的分量表达式 如下：
可写成
（5.1.10）
▪ 电磁场矢量满足矢量波动方程，其直角分量满足标量 波动方程，可以由矢量平面波对波数的迭加得到。这一 思路不仅适用于平面波函数，也适用于其它坐标系中的 波函数；不仅适用于各向同性媒质，而且适用于各向异 性媒质。
5.1.2平板介质波导
对于各向同性介质的平板介质波导，如下图所示：
➢对于 h(k x ) = e-jkx ：
当 kx 为正实数时，代表沿＋x方向的无衰减行波；
当 kx 为实部大于零的复数时，代表沿＋x方向的衰减行波。
➢对于
：
当 为正h(实kx数) 时= ，e jk代x 表沿＋x方向的无衰减行波；
当 kx 为实部大于零的复数时，代表沿＋x方向的衰减行波。
kx ➢当 为纯虚数时，上述两波变为凋落场（急速衰减）。
同样对于x的偶函数的TM模，我们选择
e d
=
A cos uxe- jkzz
x a 2
e a
=
Be-v x e- jkz z
x a 2
（5.1.17）
它的分量参数公式依然是公式（5.1.15）。而它的场量
也由公式（5.1.12）给出。
根据 Ez 和 H y在 x a 2处的连续性条件，我们得到：
- ua cot ua = εd va 2 2 ε0 2
A u2 sin ua = -B v2e-va/2
εd
2 ε0
Au cos ua = -Bve-va/2 2
把上面的两个方程左右两边分别相除得到：
ua tan ua = εd va 2 2 ε0 2
（ 5.1.16 ）
这个公式和前面的色散关系式（5.1.15）是决定TM模
的截止频率和 k z 的特征方程。
（5.1.2） （5.1.3） （5.1.4）
式（5.1.3）中的三个公式形式相同，称为调和方程式， 它们的解称为调和函数，用 h(kx x),h(ky x),h(kz x) 表示，它 们是线性的。
φ = h(kxx)h(kyx)h(kzx)
（5.15）
上式为基本波函数。
基本波函数加权求和或求积分后，仍是波动方程的解。
（5.1011）
（具体可参考横磁波与横电波的推导公式）
其中：
。特别地，y＝0，我们有，
Ex
=
-kz ωε
m x
Ez
=
1 (k2 jωε
- kz2 )m
Hy
=
-
m x
（5.1.12）
这里只给出TM模的求解过程，TE模的求解与之类似。
另外由于平板介质波导关于x轴对称，那么得到的TM模的 解是关于x轴的奇函数或偶函数。 令 代表x的奇函数，e代表x的偶函数，则
对于有界问题， kx , k y 等取离散值，有
（5.1.6）
φ =
B(kx , ky )h(kxx)h(kyx)h(kzx)
对于有界问题，kx ky 等取连续值，有
kx , ky
φ = kx kyf(kx , ky )h(kxx)h(kyx)h(kzx)dkxdky （5.1.7）
我们详细地讨论一下平面波函数的波动特性：
在介质内的TM模的解形式为
od = A sin uxe-jkzz ,
x a 2
（5.1.13）
在空气中的TM模的解形式为
oa = Be-vxe-jkzz , oa = -Bevxe- jkzz ,
xa 2
x-a 2
（5.1.14）
这里A、B、u、v为常数，这时波在介质中是无衰减传播
的。u和v不为实数时的情况将在第三节讲述。
，无衰减介质波导传输波的 0。
我们设v＝0及 u = kd2 - k02 ，解特征方程可以得到：