方程化为:
2k2
2m
E(k )a(0)
V (Kn )a( Kn )
0
V
(
Kn
)a(0)
2k 2 2m
E(k )a( Kn )
0
要使a(0)和a(Kn )有非零解，必须
2k 2
E(k)
2m
V (Kn )
V (Kn )
2k 2
E(k)
0
2m
利用：V ( Kn ) V ( Kn )
因为 V (r) 是实数，所以 V ( K m ) V * ( K m )
V
(r)
V
(
r
Rn
)
V
(
Km
)e iK m
(
r
Rn
)
Km
eiKm Rn 1
因为
Rn为正格矢，所以
Km
必为倒格矢，即
Km m1b1 m2b2 m3b3
5.3.1 微扰计算
哈密顿量可写为 Hˆ 2 2 V r
Kl
)a(K l
)
0
在上式求解过程中，利用了关系式：
e
i
(
Kl
Kn
)rdr
N
Ω
，
Kl ,Kn
e dr N Ω i
(
Km
Kl
Kn
)r
Km ,Kn Kl
2 2m
(
Kn
k )2
E(k )a(
Kn
)
Kl
V
Kn
(
Kn
Kl
)a(
Kl
)
0
因为
K n，K l
有无数多个取值，所以上式是一个无限多项
k 看作
Kn
中
垂面的入射波矢，k' 恰是 Kn中垂
Kn
k
0
Kn
2
Kn
面的反射波矢。
若不考虑杂质和缺陷引起的散射，电子的散射只能是晶格引
起的。波矢为
k'态的反射波就是与
Kn
垂直的晶面族引起的。由
第一章知，这组晶面的面间距
d 2π Kh ，其中Kh Kn m，m为整数。
由图可知
Kn k sin 2π sin
就可得到：
E(k)
2k 2 2m
V (Kn)
由此可知，当
(
Kn
k )2
k
2
时，波矢k将对应两个能级，
2k 2
E (k ) 2m V (K n )
E (k)
2k 2 2m
V (Kn )
这两能极之间的能量区间称为禁带，禁带宽度为相应傅
里叶分量绝对值的二倍。
禁带宽度 Eg 2V (Kn )
k0(r)
1 eikr V
1 eikr NΩ
Ek0
2k 2 2m
考虑到 Hˆ 后解薛定谔方程，由布洛赫定理可知波函数应为：
k(r) eikruk(r)
其中周期性因子uk(r) 展成傅里叶级数，
k(r)
1
eikr
NΩ
Kl
a(
Kl
)e
iK l
r
1
NΩ
Kl
a(
Kl
)ei
(
Kl
其他系数 a(Kl ) 是小量；电子能量也与自由电子能量近似
Ek0
2k 2 2m
电子的近自由电子行为是由势场决定的，此种情况的势
场起伏不大，中心方程中的系数
V(Kn
Kl
) 是小量。若忽略掉
二级小量，中心方程简化为：
2 2m
(Kn
k)2
2k 2 2m
a(
Kn
)
V
(
Kn
)a(0)
0
即
a(Kn )
的方程式。在计算精度范围内，可取有限项平面波来作 ( r) 的
k
近似。在此情况下，上式就变为一个有限项的方程。这样的方
程构成了一个齐次方程组。
a (Kn )，a (Kl ) 有解的条件是，它的系数行列式为零。若以 Kn为
行的指标，Kl 为列的指标，行列式的元素为如下形式：
A Kn ,Kl
2 2m
2
2d sin m
k'
Kn
k
0
Kn
Kn
2
这正是与
Kn
垂直的晶面族对应的布拉格反射公式。
5.3.2 三维能带与一维能带的区别
一维：属于一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的 布里渊区对应不同的能带，在布里渊区边界能带与能带之间 出现能隙。
三维：与一维的重要区别是不同的能带在能量上不一定隔
第三节 平面波方法
本节主要内容： 5.3.1 微扰计算 5.3.2 三维能带与一维能带的区别
§5.3 平面波方法
模型：平面波方法就是三维周期场中电子运动的近自由电
子近似。
由势场的周期性
V
(r)
V
(r
Rn
)
势能V(r) 是具有周期性的函数，可以作傅氏展开。
V
(r)
V
(Km
)e iK m
r
km
(Kl
k)2 E(k)
V (Kn Kl )
当(Kl Kn)
当 (Kl Kn)
由此行列式可求出电子的能量 E(k)。
如果电子的行为接近于自由电子时，其波函数与平面波相
近: k0(r)
1 eikr NΩ
在 k(r)
1 eikr
NΩ
Kl
a(
Kl
)e
iK l
r
中 a(0) ~ 1,
2k 2 2m
V (Kn)
2 2m
(Kn
k)2
a(0)
2k 2 2m
V (Kn )
2 2m
(Kn
k)2
当
( Kn
k)2
远离
k
2
时，由于V
(
Kn
)是小量，所以
a(
Kn
)也是
小量，但当
(Kn
k)2
k2
时，a(
Kn
)
变得很大，此时中心方程中
除
a(0)和
a(
Kn
)不能忽略外其它项仍是二级小量,可以忽略。中心
k)r
将
(
k
r)
代入薛定谔方程Hˆ
k(r)
E(k )
k(r)得
:
Kl
2
a(
K
l
)
2m
(
K
l
k)2
E
(
k )e
iK l
r
Km
'
V
(Km
)e i (
Km
Kl
)r
0
上式点乘
e
iK n
r
并对整个晶体积分得：
2 2m
(Kn
k)2
E
(k)
a(
Kn
)
V (K n
Kl Kn
2m
V (r)
V
(Km
)e iK m
r
V0
'
V
(
Km
)e
iK m
r
km
km
为方便计算，我们取势能平均值V0=0，这样
Hˆ
2 2 2m
'
V
(
Km
)e
iK m
r
Km
Hˆ 0
Hˆ
Hˆ 0
2 2m
2，Hˆ
'
V
(
Km
)eiKm
r
Km
由Hˆ 0 k0(r) Ek0 k0(r)得零级近似解
在禁带中不存在布洛赫波描述的电子态。
发生能量不连续的波矢 k 满足的条件可改写为：
Kn
(k
Kn 2
)
0
k'
上式的几何意义是：在 k空
间中从原点所作的倒格矢
Kn
Kn
k
0
Kn
2
Kn
的垂直平分面的方程。
我们令
k'
k
K
n
，则从图
k'
中可以看出，不仅 k '与 k 的模
相等，而且，若把
开，而可以发生能带之间的交叠。
EC为第一布里渊区(C点)的最高能量， EB为第二布里渊区(B点)的最低能量， EC EB 出现禁带(能隙)Eg； EC EB 出现能带重叠。
k
C
AB k
对于三维的情况，沿各个方向在布里渊区界面E(k)函数是 间断的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能使能 带发生重叠。