数学中的抽象美在绘画与教学中，美有客观标准。

画家讲究结构、线条、造型、肌理，而教学家则讲究真实、正确、新奇、普遍、……—哈尔莫斯数学家因为对发现的纯粹爱好和其对脑力劳动产品的美的欣赏，创造了抽象和理想化的真理。

—R．D．Carmicheal自然几乎不可能不对数学推理的美抱有偏爱。

—C．N．杨“数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学”(恩格斯)。

数学虽不研究事物的质，但任一事物必有量和形，这样两种事物如有相同的量和形，便可用相同的数学方法，因而数学必然也必须抽象。

我们生活在受精确的数学定律制约的宇宙之中，而数学正是书写宇宙的文字(伽利略语)。

物理、化学、工程乃至许多科学技术领域中的基本原理，都是用数学语言表达的。

万有引力的思想，历史上早就有之，但只有当牛顿用精确的数学公式表达时，才成为科学中最重要、最著名的万有引力定律。

爱因斯坦的广义相对论的产生与表达，也得益于黎曼几何所提供的数学框架和手段。

在数学的创造性工作中，抽象分析是一种常用的重要方法，这是基于数学本身的特点——抽象性的。

数学中不少新的概念、新的学科、新的分支的产生，是通过“抽象分析”得到的。

当数学家的思想变得更抽象时，他会发现越来越难于用物理世界检验他的直觉。

为了证实直觉，就必须更详细地进行证明，更细心地下定义，以及为达到更高水平的精确性而进行的持续努力，这样做也使数学本身得以发展了。

数学的简洁性在很大的程度上是源自数学的抽象性，换句话说：数学概念正是从众多事物共同属性中抽象出来的。

而对日益扩展的数学知识总体进行简化、廓清和统一化时，抽象更是必不可少的。

如前所述，微积分的创始人牛顿和莱布尼兹分别从力学(研究物体的速度、加速度)和几何学(讨论曲线的切线)不同角度引入建立同一概念、创立同一学科——微分学；而他们又分别从“反运算”和“微分求和”不同角度建立另一门学科——积分学。

这也使微分、积分(微积分)成为一个不可分离的整体学科。

同一个拉普拉斯(Laplace)方程它既可用来表示稳定的热传导过程平衡态、溶质动态平衡、弹性薄膜的平衡，也可表示静态电磁场的位势、真空中的引力势、不可压流体的定常运动等等。

这个方程由于抽象性而成为普适(当然，方程自身的形式也是很美的，除了符号美外，它还具形式美：对称、整齐)，这显然也是数学本身的一大特点。

抽象是数学的美感中的一个重要部分，还因为数学的抽象可以把人们置于脱开周围事物纷扰的“纯洁”的气氛中，尽管这种气氛有时距离具体经验太遥远。

波兰数学大师H．史坦因豪斯在其名著《数学一瞥》中，有这样一句挑战性的话：七十八位数2257-1=2315841784746323908471419700173758157065399693312811280789151 68015826259279871是合数，可以证明它有因子，尽管这些因子还不知道。

大师是运用了“抽屉原理”得出这个“非构造性”的结论(证明某些东西存在，尽管还没找到它)，数学家正是依据数学抽象的特点，巧运新思才得出这个“未卜先知”的断言(这些因子在八十年代人们利用了电子计算机的帮助而找到了)。

这也是数学用抽象推理去判断以别于其他学科的标志之一。

“抽象”系指不能具体体验到的，这儿我们所谈的抽象有两种含义：(1)我们不容易想象(或意想不到)的；(2)我们无法体验到(或与现实较脱节)的。

对于前者，这也是用数学去“证明”某些难以理解的事实的最好工具；对于后者，说明数学本身具有的特征与魅力。

我们先来谈谈前者。

下图中有一个大的半圆，在其直径上又并列着三个小半圆，请问大的半圆周长与三个小半圆周长之和谁大？乍看上去，似难判断，具体一推算便十分清楚了：设大圆直径为d，三个小半圆直径分别为d1、d2、d3。

因d1+d2+d3=d，有π(d1+d2+d3)=πd，即πd1+πd2+πd3=πd，此即说大半圆周长为三个小半圆周长之和。

再如有一条很长很长的绳子，恰好可绕地球赤道一周。

如果把绳子再接长15米后，绕着赤道一周悬在空中(如果能做到的话)，你能想象得出吗：在赤道的任何地方，一个身高2米39以下的人，都可从绳子下自由穿过！它的道理只须稍加计算便可明晓。

设地球半径为R，则绳子原长为2πR。

当绳子长为2πR+15时，绳子所围圆周的半径是：(2π+15)÷2π=R+15／(2π)=R+2.39(m)。

那么绳子可围成一个与地球相距(即绳子围成的圆圈半径与地球半径之差)2.39米的大圆圈。

这个事实单凭经验去想象，无论如何是想不通的：地球半径那么大，而绳子仅仅接长15米，绳子居然处处离地球2米以上。

然而严谨的数学计算告诉我们：这是千真万确的(可谁又能亲手去试验一下？)。

话还得讲回来，正因为数的抽象，人们难以体会，因而有时也须将它形象化之后，才能为人们接受。

比如提到原子，人们都会觉得它小，从数据上讲它的直径约为10－10m，这看上去很抽象，它到底有多小？如果作个比方：“一个原子与一滴水之比”，就如“一滴水与整个地球之比”一样，你就会觉得形象了。

有些数字看来也许并不起眼，然而它表示的数据之大几乎让人感到吃惊……一位联合国卸任的官员曾说过：1980年在纽约和日内瓦举行联合国会议期间，仅九月至十二月，共印刷二亿三千五百万页文件，而全年共印刷大约十八亿页文件。

如果把这些文件首尾粘起来，将长达二十七万公里。

照此速度印发文件，两年内文件总长可铺至月球。

多米诺骨牌是西方人喜欢玩、且列为竞技项目的游戏。

它是将一些骨牌立着排好，推倒第一张，其余的便会依次倒下。

据计算，一张多米诺骨牌倒下时能推倒下一张尺寸为其1.5倍(指长、宽、高三度)的骨牌。

这样，如果按照l∶1.5的尺寸作一套13张的骨牌，若最小者为9.53×4.76×1.19(mm3)，则第13张尺寸为61×30.5×7.6(cm3)，推倒第一张骨牌仅须0.024微焦耳的能量，而第13张骨牌倒下时却放出51焦耳的能量，即它被放大20多亿倍。

若按此比例，第32张多米诺骨牌将高达415米，它已是纽约帝国大厦高度的两倍，此时它倒下时，释放的能量已达1.24×1015焦耳!苍蝇是四害之一，然而它的繁殖速度却是惊人的。

苍蝇大约在每年四月中旬开始产卵，卵20天可成蝇，这样到每年九月一只苍蝇大约可繁殖七代。

如果一只苍蝇每次可产卵120个(若雌雄各半共60对)，一年中一只苍蝇可繁殖：2×(60+602+603+…+606)=355923200000000只，这些苍蝇可排成大约25亿公里长，它等于地球到太阳距离的十八倍。

相传古印度人西塔发明了(国际)象棋而使当政的国王十分开心，便决定重赏西塔。

“我不要您的重赏，陛下。

”西塔接着说：“我只要您能在我的棋盘上赏些麦子：在第一格放一粒，第二格放2粒，第三格放4粒，以后每格放的麦粒都比它前面一格多一倍，我只求能放满64格就行。

”“区区小数。

几粒麦子，这有何难，来人……”国王命令道。

然而一动手放起来，国王便傻眼了：这些麦粒总数为1+2+23+…+263=264-1，它们的体积有12×1012立方米，若把它们堆成高4米，宽10米的“麦墙”，将有3×108公里长，这大约是全球两千年所产小麦的总和。

印度北部的圣城贝拿勒斯的一座神庙里，佛像前面放着一块黄铜板，板上插着三根宝石针，其中的一根自上而下放着从小到大的64片圆形金片(它在当地称为“梵塔”)。

按教规每天由值班僧侣把金片移到另一根宝石针上，每次只能移动一片，且小片必须放在大片上——当所有金片都移到另一根宝石针上时，所谓的“世界末日”便到了。

经计算发现，按照上面规定当把全部金片移到另一根宝石针上时，需移动264-1次。

倘若每秒移动一次，即使日夜不停地移动金片，仍大约要585亿年(每年按3155800秒计)。

按现代科学推测：太阳系寿命约200亿年——移完金片，地球乃至太阳系或许不复存在了！围棋在我国已有四千余年的历史，宋代科学家沈括在其所著《梦溪笔谈》中谈到，唐代高僧一行曾计算过围棋中不同布局的总局数：棋盘有横、竖直线各19条，它们的交点有361个(放子处)，每点处由于可放白子、也可放黑子、还可空着不放子，这样每点处均有三种不同布局，因而围棋的所有可能布局方式为：3361≈10172(种)。

这些总布局既使让每秒可做10亿次运算的大型高速计算机去运作(姑且认为它每秒钟可完成10亿个布局)，三台计算机每年可完成1017种布局，那么它们完成全部布局约须10155年，这个数比前面提到的太阳系寿命要大的多得多! 古语围棋中“千古无同局”是颇有道理的。

上面的这些例子，正是说明数的抽象，那些“貌不惊人”的数，竟会大得使人难以想象。

如此看来单凭直觉、单靠想象无论如何也难体会到这些数的“惊人”之处。

“两人生日问题”也是一个令人难以捉摸、难以凭空想象的例子。

四个苹果放到三个抽屉里，至少有一个抽屉里放着两个以上的苹果，这在数学上叫“抽屉原理”。

这个简单的事实在数学上却有着意想不到的用途。

367个人中间，肯定会有两个人的生日相同，因为一年至多有366天(闰年才如此)。

人的头发据估计约为15万根左右，那么在一个十五万人口的城市里，肯定至少有两人的头发根数一样，这当然也是须用抽屉原理去解释。

然而话又讲回来，真的让你找出头发一样多的两个人来，这绝非轻而易举的事。

前文我们曾提到过的一个并不显然的事实，也是用抽屉原理去解释的：全世界任找六个人当中，至少有三个人或者彼此都相识，或者彼此都不认识。

中国有十二种属相：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪，这由某人生于何年(农历)而定。

运用抽屉原理可以断定：13个人中至少有两人属相一样，说来也许令人困惑：任意四个人中，有两人属相一样的可能约有一半，而一个6口之家，几乎可以“断定”他家会有两人属相一样，这种问题是数学的另一个分支概率论研究的对象了。

至于生日问题结论也更使人不解：23个人中有两人生日相同的可能约为一半，50个人中有两人生日相同的可能居然有97％。

下表中的数据是由“概率论”的公式精确计算出的：有人曾查阅资料发现：美国前36任总统中有两人生日一样，3人死在同一天(当然年份不同)。

这种“巧合”从概率角度去分析，似乎不值得大惊小怪了。

下面的事实听起来也许更“玄”了：你把信寄给你的朋友，让他再寄给他的熟人，然后再让这位熟人寄给他的朋友，……如此下去，在无预先约定的情况下，直到此信寄到你认识的人为止，这期间的联系人个数你一定会以为很大很大，其实不然，这个数约为5。

这些事也许使人想不通，但事实却正是如此，它们借助数学方法都可以严格去证明。

数学中的重要常数e、π本身是既具体又抽象的，如果说它们与数学的某些分支有联系，你只凭借“想象”是难以应付的。