2014高三数学专题抽象函数特殊模型和抽象函数 特殊模型抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0)f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x nf(xy)=f(x)f(y) [或)y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [)y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y)[)]y (f )x (f )yx (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx)y (f )x (f 1)y (f )x (f )y x (f -+=+ 余切函数 f(x)=cotx )y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-=+ 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。
例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。
解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。
评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ϕ的定义域问题，相当于解内函数()x ϕ的不等式问题。
练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 3log 21 的定义域。
例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。
[]11log ,13 评析： 已知函数()()x f ϕ的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。
相当于求内函数()x ϕ的值域。
练习：定义在(]8,3上的函数f(x)的值域为[]2,2-，若它的反函数为f -1(x)，则y=f -1(2-3x)的定义域为 ，值域为 。
(]8,3,34,0⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
例3.①对任意实数x,y ，均满足f(x+y 2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)]1([2)()1(,1,2f n f n f y n x +=+==得令 令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 令x=y=0,得：f(0)=0,∴f(1)=21,.22001)2001(f ,2n )n (f ,21f(n)-1)f(n =∴==+故即 ② R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f -1(x),由y=f(x+1)与y=f -1(x+2)互为反函数，则f(2009)= .解析：由于求的是f(2009)，可由y=f -1(x+2)求其反函数y=f(x)-2,所以f(x+1)= f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4918.例4.已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1,且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.1解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1. 而f(x+5)≥f(x)+5，所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+x-1+5 , 又f(x+1)≤f(x)+1，所以 g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+x-1+1，即g(x+5)≥g(x), g(x+1)≤g(x). 所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1) 又g(1)=1, 故g(2002)=1.练习： 1. f(x)的定义域为(0,)+∞，对任意正实数x,y 都有f(xy)=f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则f = （12 ）2.的值是则且如果)2001(f )2000(f )5(f )6(f )3(f )4(f )1(f )2(f ,2)1(f ),y (f )x (f )y x (f ++++==+ 。
20002(1)(2)(1)f f f ++222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)f f f f f f f f f +++++= .( ()2n f n =,原式=16)3、对任意整数y x ,函数)(x f y =满足：1)()()(+++=+xy y f x f y x f ，若1)1(=f ，则=-)8(f CA.-1B.1C. 19D. 434、函数f(x)为R 上的偶函数，对x R ∈都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，若(1)2f =，则(2005)f =（ ）（B ）71)71(7)1(,,3)73(,2)72()72(21)2720()71(,)71()2(21)],1([)1()24341()21()1()43(,)41()21()1(522==∴===∴=+===-++-=+=+-==∴=b f b f b f b f f f f b f a a a a a a a f f a a a f a f a f 同理则设可解得又、 A . 2005 B. 2 C.1 D.05、定义在R 上的函数Y=f(x)有反函数Y=f -1(x)，又Y=f(x)过点（2，1），Y=f(2x)的反函数为Y=f -1(2x)，则Y=f -1(16)为（ ）（A ）A ）18 B ）116C ）8D ）16 的值求的值求均有对所有上的函数，满足，是定义在为实数，且、已知)71()2()1()()()1()2(,,1)1(,0)0(]10[)(,106f a y af x f a y x f y x f f x f a a +-=+≤==<< 三、值域问题例4.设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠，求函数f(x)的值域。
解：令x=y=0，有f(0)=0或f(0)=1。
若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故 f(0)≠0，必有f(0)=1。
由于f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x 、y 均成立，因此，0)2()(2≥⎪⎭⎫ ⎝⎛=x f x f ,又因为若f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与f(0)≠0矛盾,所以f(x)>0.四、求解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例5. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)例6、设对满足x ≠0,x ≠1的所有实数x ，函数f(x)满足,()x x x f x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11 ,求f(x)的解析式。
解:(1)1),x 0(x x 1)x 1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ---- ,12)11()1(:x 1-x x x x f x x f x -=-+-得代换用（2）:)1(x -11 得中的代换再以x .12)()x -11f(x x x f --=+---（3）1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 例7.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解:易知f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)，代入比较系数得:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.例8.是否存在这样的函数f(x),使下列三个条件:①f(n)>0,n ∈N;②f(n 1+n 2)=f(n 1)f(n 2),n 1,n 2∈N*;③f(2)=4同时成立? 若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x (x ∈N*)小结：对于定义在正整数集N*上的抽象函数,用数列中的递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，也常用递推法来求解.例9、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)21()23(+=-x f x f 恒成立，当[]3,2∈x 时，x x f =)(，则)0,2(-∈x 时，函数)(x f 的解析式为（ D ） A ．2-x B ．4+x C ．12++x D ． 13+-x解：易知T=2，当)1,2(--∈x 时,()3,24∈+x ,∴)(4)4(x f x x f =+=+;当)0,1(-∈x 时()3,22∈-x ,∴)()(2)2(x f x f x x f =-=-=-.故选D 。
练习：1、.232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设解:02)x (x f 3 x ,x 1)x (f 2)x 1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用，.232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由2.（重庆）已知定义域为R 的函数f(x)满足f (f (x )-x 2+x )=f (x )-x 2+x.（Ⅰ）若f (2)=3，求f (1)；又若f (0)=a ，求f (a )；（Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)=x 0，求函数f (x )的解析表达式。
22222222(),(()-)() ((2)-22)(2)22(2)3,(3-22322,(1)1(0),(00)00,()I x R f f x x x f x x xf f f f f f f a f a a f a a∈+=-++=-+=+=-+==-+=-+=解：因为对任意有所以又由得）即若则即22000202000002000000220(II)(())().() ,() () ()0()0()x R f f x x x f x x x x f x x x R f x x x x x x f x x x x f x x x x x x x f x x x f x x x∈-+=-+=∈-+==-+==-=-+==-因为对任意，有又因为有且只有一个实数，使得所以对任意有在上式中令，有再代，得，故=0或=1 若=0，则，即202202 0()1,() 1. () 1 ()x x x x x f x x x f x x x f x x x x R -=≠-+==-+=-+∈但方程有两个不相同实根，与题设条件矛盾。