非线性电路混沌及其同步控制【摘要】本实验通过测量非线性电阻的I-U特性曲线，了解非线性电阻特性，，从而搭建出典型的非线性电路——蔡氏振荡电路，通过改变其状态参数，观察到混沌的产生，周期运动，倍周期与分岔，点吸引子，双吸引子，环吸引子，周期窗口的物理图像，并研究其费根鲍姆常数。

最后，实验将两个蔡氏电路通过一个单相耦合系统连接并最终研究其混沌同步现象。

【关键词】混沌现象有源非线性负阻蔡氏电路混沌同步费根鲍姆常数一．【引言】1963年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。

非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20世界物理学的“第三次重大革命”。

由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。

迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。

本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基本概念。

通过本实验的学习扩展视野、活跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。

二．【实验原理】1.有源非线性负阻一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增加，并且i-v 呈线性变化，所谓正阻，即I-U 是正相关，i-v 曲线的斜率u i∆∆为正。

相对的有非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两端的电压增大时，电流减小，并且不是线性变化。

负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。

一般实现负阻是用正阻和运算放大器构成负阻抗变换器电路。

因为放大运算器工作需要一定的工作电压，因此这种富足成为有源负阻。

本实验才有如图1所示的负阻抗变换器电路，有两个运算放大器和六个配置电阻来实现。

图1 有源非线性负阻内部结构用电路图3以测试有源非线性负阻的i-v 特性曲线，如图4示为测试结果曲线，分为5段折现表明，加在非线性元件上的电压与通过它的电流就行是相反的，只有中间的三段这线区可以产生负阻效应。

图3 非线性负阻伏安特性测试电路图4 有源非线性负阻伏安特性2.混沌混沌是一种运动状态，是确定性中出现的无规律性，其主要特征是动力学特性对初始条件的依赖性非常敏感。

一个混沌系统即使确定的又是不可预测的，也不能分解为两个子系统，通向混沌有三条主要途径：倍周期分岔道路：改变一些系统的参数，是系统周期加倍，知道丧失周期性，进入混沌；阵发性道路：在非平衡的系统中，某些参数的变化达到某一临界值是，系统会表现出在时间行为上时而周期，时而混沌的状况，最终进入混沌；准周期道路：有茹厄勒-塔根斯提出，由于某些参数的变化使得系统有不同频率的震荡相互耦合时，会产生一些新的频率，进而导致混沌。

另外还有湍流道路，剪切流转等产生混沌。

3.吸引子在耗散的动力学系统，长时间以后状态总要演化到有限空间的状态吸收集上，这样的状态叫吸引子，它是稳定的不动点。

吸引子根据形态分为：（1）点吸引子——系统的运动在相空间中的轨迹最终到达一点点，常见的有点吸引子、叫点吸引子。

点吸引子代表定常的运动形态。

（2）极限环吸引子——相空间任意点发出的轨道曲线一条闭合轨道，它代表周期运动状态，又叫做周期吸引子，对离散映射，若有一个不动点切实稳定，那么就代表极限环吸引子。

（3）不变环面吸引子：当相空间的运动轨线都趋向换面，就是环面吸引子，它代表准周期的运动形态。

（4）奇怪吸引子：轨道吸引到有限区域后，它好像在趋于某些不动点，但又跑了出来，它又好像在绕圈但又无规则，从而形成奇怪吸引子。

它代表非周期性的运动形态。

在离散映射上形成无数个有奇怪性质的不动点。

4.菲根鲍姆常数一个完全确定的系统，即使非常简单，由于系统内部的非线性作用，同样具有内在的随机性，可以产生随机性的非周期运动。

在许多非线性系统中，既有周期运动，又有混沌运动。

菲根鲍姆发现，一个动力学系统中分岔点处参量μ收敛服从普适规律。

他指出，出现倍周期分岔预示着混沌的存在。

δ=4.699 201 609 102 9。

非线性参数可以表征一个非线性系统趋于混沌的速度，'2132μμδμμ-=-，'δ越接近δ，系统进入混沌就越快。

5.非线性电路本实验以蔡氏电路为基本实验装置，蔡氏电路是能产生混沌的最简单的非线性电路，如电路图5所示，它由一个非线性电阻N R 、电感L ，可调电阻R 以及电容器1C 与2C ，其中非线性电阻是核心元件，是系统产生混沌的必要条件。

图5 蔡氏震荡电路由基尔霍夫结点电流定律可以得到蔡氏电路的非线性动力学方程：{122N c R R c L R L c i i i i i i di L U dt =-=-=- ()()()1121121221211c c c c N c c c c L L c dU U C U U dt R R U dU C U U i dt R di L U dt=--=-+=- 方程组中1c U 、2c U 和L i 任何一个量都可以描述系统状态，不存在解析解，只能数值求解。

数值结果表明：对1c U 、2c U 和L i 分别求解，可以得到系统相同的运动规律，即由周期震荡通过倍周期分岔进出混沌，具体发展是：周期震荡→2周期→2n 周期→阵发混沌→单吸引子→ 双吸引子临界状态→ 双吸引子→ 稳定双吸引子。

方程组中R 、L 、1C 和2C 的取值对计算结果的影响极大，取值只要发生微小变化甚至610-量级，解就会从一个态变成另一个态，甚至从稳定态，变成不稳定态，从周期状态变成混沌状态。

6、混沌同步所谓混沌同步是指一个系统的混沌动力学轨道收敛于另一而系统的混沌动力学轨道，以至于两个系统在以后的时间里始终保持步调的一致。

方法是驱动响应方法，它将系统分为两个子系统：驱动子系统和响应子系统，然后对响应子系统进行复制，并用驱动子系统产生的信号驱动该复制的系统。

混沌同步的目的是在一个相同的具有任意初始条件的形影系统中，从一个驱动系统中恢复给定的混沌轨迹。

用于保密通信是，在传输前用混沌来隐藏消息，并通过混沌同步来在接收端抽取该隐藏的消息。

实验中的混沌同步系统有两个相同才是电路和一个单项耦合系统构成的。

相同的蔡氏电路之两个电路的元件的参数尽可能的接近，从而确保混沌同步实现的基本条件。

单向耦合系统确保驱动系统能对响应系统产生影响，响应系统不能对驱动系统产生作用。

如电路图6所示：图6 混沌同步实验电路驱动系统错误!未找到引用源。

两端的电压信号通过运算放大器等值的传输到错误!未找到引用源。

的左侧。

由于单向耦合系统的存在，驱动系统的运动状态会影响响应系统，而响应系统的运动状态不能影响驱动系统。

这样，的左右两端分别为驱动系统的信号和响应系统的错误!未找到引用源。

信号。

在驱动系统和响应系统不同步时，这两个信号时不等的，这时我们可以通过调节的大小来实现和上的电压信号相等。

于是，两个系统变实现了同步。

三．【实验仪器】直流电源、信号源、数字存储示波器、模拟示波器、台式万用表、电阻箱、电容箱、18.8mH电感元件、滑动变阻器、0.01uF、0.1uF电容元件、电阻元件。

其中直流电源和信号源集成在一个控制箱中，控制箱面板如图7所示。

（可以利用控制箱的接地端口使电路共地）图7 控制箱面板示意图四．【实验内容】1. 搭建如图3所示电路，测量非线性电阻I-U的特性曲线2. 搭建如图5所示电路，改变可变电阻R，观测并记录非线性电路的各种运动状态，同时测量非线性负阻两端的电压，3. 利用电容箱改变错误!未找到引用源。

，选取两个不同的R值，观察当错误!未找到引用源。

增加时非线性电路的运动状态，计算非线性参数' 。

4. 搭建如图6所示电路，分别调节两个蔡氏电路的蚕食，是两个蔡氏电路处于大致相同的混沌状态。

然后采用擦、、单向耦合电路将两个蔡氏电路连接起来，观察同步现象。

改变耦合电阻，观察并记录混沌同步和去同步状态。

五．【数据处理和实验分析】1. 非线性负阻图8 实验测量伏安特性曲线如图8，I-U特性曲线分为五个折线段，中间三段折点表明，加在此非线性元件上的电压与通过它的电流极性是相反的，当加在此元件上的电压增加时，通过它的电流却减小。

因此只有中间的三段折线区域可以产生负阻效应。

2.非线性电路混沌运动的实验结果表一不同状态下非线性电阻两端电压李萨如图形非线性负阻两端电压李萨如图形非线性负阻两端电压1周期 6.14V 2周期 6.05V4周期 6.03V 8周期 6.02V阵发混沌 6.01V 3周期 6.01V单吸引子6V以上数据表明，只要非线性电阻两端的电压发生微小变化，系统就可以迅速从稳态变为非稳定态，发生巨大的变化，系统运动状态对初值极为敏感。

混沌运动产生的混沌现象见附图（1）——（8）图（1）一周期图（2）二周期图（3）三周期图（4）四周期图（5）八周期图（6）单吸引子图（7） 双吸引子图（8） 阵发混沌3. 改变R 值计算菲根鲍姆常数表二 不同R 下分岔点处C 2取值1μ（uF ） 2μ（uF ） 3μ（uF ） '2132μμδμμ-=-0.0006 0.0029 0.0035 3.830.0016 0.0041 0.0047 4.17R 1电阻状态下比R 2电阻状态下，系统更接近于混沌状态，而'1δ<'2δ<δ，满足'δ越接近δ，系统进入混沌状态就越快。

很明显，'δ远小于δ，原因有以下几点：①由于实验仪器精度问题，实验中只能测到3μ的值，不能让n 趋近于∞；②电容只能精确到uF 小数点后五位，致使'δ产生误差；③混沌电路对外界微小变化十分敏感，而实验不能保证外界变化不会影响到电路，从而在测量数据时，混沌电路状态已经发生改变，致使误差产生。

4. 混沌同步混沌同步、准同步、去同步见附图（9）——（11）。

图（9） 准同步图（10）同步图（11）去同步由图像知同步图像为一条直线，准同步图像接近一条直线，而去同步图像为非规则图型。

六．【结论与建议】本实验通过对有源非线性电阻伏安特性曲线的测量，得出其伏安特性曲线性质，并通过调节蔡氏电路得到费根鲍姆常数近似值3.83、4.17，并得到混沌运动的各种状态。