学案29：不等关系与不等式
知识梳理：
一．实数大小顺序与运算性质之间的关系
a －
b ＞0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a <b .
二．不等式的基本性质
三.1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c .
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．
[试一试]1．(2013·北京高考)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( )
A ．ac >bc B.1a <1b
C ．a 2>b 2 D. a 3>b 3
2.
12－1
________3＋1(填“>”或“<”)．
四.方法：1．不等式的倒数性质
(1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ；(2)a <0<b ⇒1a <1b ；(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d ；(4)0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a
. 2．不等式的分数性质
(1)真分数的性质：b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m
(b －m >0)； (2)假分数的性质：a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m
(b －m >0)． [练一练]若0<a <b ，c >0，则
b ＋
c a ＋c 与a ＋c b ＋c
的大小关系为________．
1.已知a 1，a 21212 )
A ．M <N
B ．M >N
C ．M ＝N
D ．不确定
2．若实数a ≠1，比较a ＋2与31－a
的大小．
[典例] (1)(2014·太原诊断)“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．既不充分也不必要条件
C ．充分必要条件
D ．必要不充分条件
(2)若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋b c
＜0；③a －c ＞b －d ；④a ·(d －c )＞b (d －c )中成立的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
[针对训练]若a >b >0，则下列不等式不成立的是( )
A.1a <1b
B ．|a |>|b |
C ．a ＋b <2ab D.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12 b
[典例]
变式1：若本例中条件变为：已知函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1<f (－1)≤2,2≤
f (1)<4，求f (－2)的取值范围.
[针对训练]若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧
－1≤α＋β ≤1，1≤α＋2β ≤3，试求α＋3β的取值范围．
课堂练习：
题组一
1．“1≤x ≤4”是“1≤x 2≤16”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 2．若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( )
A.1a －b >1b
B ．a 2<ab C.|b ||a |<|b |＋1|a |＋1 D ．a n >b n 3．在所给的四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0中，能推出1a <1b
成立的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
4．设a ，b 是非零实数，若a <b ，则下列不等式成立的是( )
A ．a 2<b 2
B ．ab 2<a 2b C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b
5．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题：
①若a >b ，则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .
其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)． 6．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b
的大小关系是________． 题组二：
1．若m ＜0，n ＞0且m ＋n ＜0，则下列不等式中成立的是( )
A ．－n ＜m ＜n ＜－m
B ．－n ＜m ＜－m ＜n
C ．m ＜－n ＜－m ＜n
D ．m ＜－n ＜n ＜－m
2．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式中成立的是( )
A ．xy >yz
B ．xz >yz
C ．xy >xz
D ．x |y |>z |y |
3．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，那么2α－β3
的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，5π6 B.⎝⎛⎭⎫－π6，5π6 C ．(0，π) D.⎝⎛⎭
⎫－π6，π 4．若1a <1b
<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |
5．已知1a <1b
<0，给出下面四个不等式：①|a |>|b |；②a <b ；③a ＋b <ab ；④a 3>b 3.其中不正确的不等式的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
6．若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．
7．若1＜α＜3，－4＜β ＜2，则α－|β|的取值范围是________．
8．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．
9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e (b －d )2
.
10．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．
(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？
(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？
题组三：
1．设a >1，且m ＝log a (a 2＋1)，n ＝log a (a －1)，p ＝log a (2a )，则m ，n ，p 的大小关系为( )
A ．n >m >p
B ．m >p >n
C ．m >n >p
D ．p >m >n
2．已知a >b >0，给出下列四个不等式：①a 2>b 2；②2a >2b －
1；③a －b >a －b ；④a 3＋b 3>2a 2b . 其中一定成立的不等式为( )
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④。