第七章不等式知识点最新考纲不等关系与不等式了解不等关系，掌握不等式的基本性质.一元二次不等式及其解法了解一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，会解一元二次不等式.二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题了解二元一次不等式的几何意义，掌握平面区域与二元一次不等式组之间的关系，并会求解简单的二元线性规划问题.基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)掌握基本不等式ab≤a＋b2(a，b＞0)及其应用.绝对值不等式会解|x＋b|≤c，|x＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式．了解不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．3．不等式的一些常用性质(1)有关倒数的性质①a>b，ab>0⇒1a<1 b.②a <0<b ⇒1a <1b.③a >b >0，0<c <d ⇒a c >b d. ④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a.(2)有关分数的性质 若a >b >0，m >0，则 ①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －ma －m(b －m >0)． ②a b >a ＋mb ＋m ；a b <a －mb －m(b －m >0)．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a >b ，a ＝b ，a <b 三种关系中的一种．( ) (2)若ab>1，则a >b .( )(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ) (4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．( ) (5)同向不等式具有可加性和可乘性．( )(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1．(必修5P74练习T3改编)若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.a －b >0⇒a >b ⇒a >b ⇒a 2>b 2， 但由a 2－b 2>0⇒/ a －b >0. 2．(必修5P75A 组T2改编)15－2______16－5(填“>”“<”或“＝”)． 解析：分母有理化有15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<16－5.答案：<3．(必修5P75B 组T1改编)若0<a <b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．解析：令a ＝13，b ＝23，则2ab ＝2×13×23＝49，a 2＋b 2＝19＋49＝59，故a <2ab <12<59＝a 2＋b 2<b .答案：a <2ab <12<a 2＋b 2<b[易错纠偏](1)乱用不等式的相乘性致错； (2)命题的必要性出错；(3)求范围乱用不等式的加法原理致错．1．若a >b >0，c <d <0，则下列结论正确的是( ) A.a c －b d >0 B.a c －b d <0 C.a d >b cD.a d <b c解析：选D.因为c <d <0，所以0<－d <－c ， 又0<b <a ，所以－bd <－ac ，即bd >ac ， 又因为cd >0，所以bd cd >ac cd ，即b c >ad. 2．设a ，b ∈R ，则“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)．解析：若a >2且b >1，则由不等式的同向可加性可得a ＋b >2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab >2×1＝2.即“a >2且b >1”是“a ＋b >3且ab >2”的充分条件；反之，若“a ＋b >3且ab >2”，则“a >2且b >1”不一定成立，如a ＝6，b ＝12.所以“a >2且b >1”是“a＋b >3且ab >2”的充分不必要条件．答案：充分不必要3．若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________．解析：由－π2<α<π2，－π2<－β<π2，α<β，得－π<α－β<0. 答案：(－π，0)用不等式(组)表示不等关系某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时数分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．【解】 设甲、乙两种产品的月产量分别为x ，y ，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .用不等式(组)表示不等关系(1)分析题中有哪些未知量．(2)选择其中起关键作用的未知量，设为x 或x ，y ，再用x 或x ，y 来表示其他未知量． (3)根据题目中的不等关系列出不等式(组)．[提醒] 在列不等式(组)时要注意变量自身的范围．某汽车公司因发展需要需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆， 则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.即⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋9y ≤100，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.不等式的性质及应用(高频考点)不等式的性质及其应用是高考命题的热点．不等式性质的应用是高考的常考点，常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：(1)判断命题的真假；(2)与充要条件相结合命题的判断； (3)求代数式的取值范围． 角度一 判断命题的真假(1)设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3(2)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<b c2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d【解析】 (1)A 项，c ≤0时，由a >b 不能得到ac >bc ，故不正确； B 项，当a >0，b <0(如a ＝1，b ＝－2)时，由a >b 不能得到1a <1b，故不正确；C 项，由a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )及a >b 可知当a ＋b <0时(如a ＝－2，b ＝－3或a ＝2，b ＝－3)均不能得到a 2>b 2，故不正确；D 项，a 3－b 3＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝(a －b )·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋34b 2 >0，所以可由a >b 知a 3－b 3>0，即a 3>b 3，故正确．(2)A ：取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B ：当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，所以B 错误；C ：因为a c 2<bc2，所以c ≠0，又c 2>0，所以a <b ，C 正确；D ：取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误，故选C.【答案】 (1)D (2)C角度二 与充要条件相结合命题的判断(1)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】 (1)(a －b )·a 2<0，则必有a －b <0，即a <b ；而a <b 时，不能推出(a －b )·a 2<0，如a ＝0，b ＝1，所以“(a －b )·a 2<0”是“a <b ”的充分不必要条件．(2)当b <0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b ＝0时，显然有a >b ⇔a |a |>b |b |； 当b >0时，由a >b 有|a |>|b |， 所以a >b ⇔a |a |>b |b |.综上可知a >b ⇔a |a |>b |b |，故选C. 【答案】 (1)A (2)C 角度三 求代数式的取值范围(2020·台州高三模拟)若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，则α＋3β的取值范围为________．【解析】 设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2. 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6， 两式相加，得1≤α＋3β≤7. 所以α＋3β的取值范围是[1，7]． 【答案】 [1，7](1)判断不等式命题真假的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式性质．②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．(2)充要条件的判断方法利用两命题间的关系，看p 能否推出q ，再看q 能否推出p ，充分利用不等式性质或特值求解．(3)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．已知△ABC 的三边长a ，b ，c 满足b ＋c ≤2a ，c ＋a ≤2b，则b a的取值范围是________．解析：因为b ＋c ≤2a ，c ＋a ≤2b ，c ＞a －b ，c ＞b －a ，所以问题等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜c ，b －a ＜c ，c ≤2a －b ，c ≤2b －a有解，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＜2a －b ，a －b ＜2b －a ，b －a ＜2a －b ，b －a ＜2b －a⇒23＜b a ＜32，即b a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32比较两个数(式)的大小(1)设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈[0，1]．证明：f (x )≥1－x ＋x 2；(2)若a ＝ln 33，b ＝ln 22，比较a 与b 的大小．【解】 (1)证明：因为1－x ＋x 2－x 3＝1－（－x ）41－（－x ）＝1－x 41＋x ，由于x ∈[0，1]，有1－x41＋x≤1x ＋1， 即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1， 所以f (x )≥1－x ＋x 2.(2)因为a ＝ln 33＞0，b ＝ln 22＞0，所以a b ＝ln 33·2ln 2＝2ln 33ln 2＝ln 9ln 8＝log 8 9＞1，所以a ＞b .1．设m ＝(x ＋2)(x ＋3)，n ＝2x 2＋5x ＋9，则m 与n 的大小关系为( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ≥nD ．m ≤n解析：选B.m －n ＝x 2＋5x ＋6－(2x 2＋5x ＋9) ＝－x 2－3<0，所以m <n .故选B.2．比较a 2b ＋b 2a 与a ＋b (a >0，b >0)两个代数式的大小．解：因为a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab＝a 2（a －b ）＋b 2（b －a ）ab ＝（a －b ）（a 2－b 2）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.又因为a >0，b >0，所以（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0，故a 2b ＋b 2a≥a ＋b .[基础题组练]1．(2020·嘉兴期中)若x ＞y ，m ＞n ，下列不等式正确的是( ) A ．m －y ＞n －x B ．xm ＞yn C.x n ＞y mD ．x －m ＞y －n解析：选A.对于B ，x ＝1，y ＝－2，m ＝－1，n ＝－2时不成立， 对于C ，x ＝1，y ＝－2，m ＝－1，n ＝－2时不成立，因为x ＞y ，m ＞n ，所以x ＋m ＞y ＋n ，所以m －y ＞n －x .A 正确， 易知D 不成立，故选A.2．(2020·义乌质检)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么2α－β3的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，5π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，5π6C ．(0，π)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π解析：选D.由题设得0<2α<π，0≤β3≤π6，所以－π6≤－β3≤0，所以－π6<2α－β3<π.3．设实数x ，y 满足0＜xy ＜1且0＜x ＋y ＜1＋xy ，那么x ，y 的取值范围是( ) A ．x ＞1且y ＞1 B ．0＜x ＜1且y ＜1 C ．0＜x ＜1且0＜y ＜1D ．x ＞1且0＜y ＜1解析：选C.⎩⎪⎨⎪⎧xy ＞0，x ＋y ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0.又x ＋y ＜1＋xy ，所以1＋xy －x －y ＞0，即(x －1)(y －1)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，y ＜1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞1(舍去)，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜1，0＜y ＜1.4．(2020·温州校级月考)下列不等式成立的是( ) A ．若|a |＜b ，则a 2＞b 2B ．若|a |＞b ，则a 2＞b 2C ．若a ＞b ，则a 2＞b 2 D ．若a ＞|b |，则a 2＞b 2解析：选D.若|a |＜b ，则a 2＜b 2，故A 错误；若a ＝b ＜0，则|a |＞b ，则a 2＝b 2，故B 错误；若－a ＝b ＜0，则a ＞b ，则a 2＝b 2，故C 错误； 若a ＞|b |，则a 2＞b 2，故D 正确．故选D.5．已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( ) A ．若a ＞b ，则ac 2＞bc 2B ．若a c ＞b c，则a ＞bC ．若a 3＞b 3且ab ＜0，则1a ＞1bD ．若a 2＞b 2且ab ＞0，则1a ＜1b解析：选C.当c ＝0时，可知A 不正确；当c ＜0时，可知B 不正确；由a 3＞b 3且ab ＜0知a ＞0且b ＜0，所以1a ＞1b成立，C 正确；当a ＜0且b ＜0时，可知D 不正确．6．已知实数a ，b ，c .( )A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100解析：选D.取a ＝10，b ＝10，c ＝－110，可排除选项A ；取a ＝10，b ＝－100，c ＝0，可排除选项B ；取a ＝10，b ＝－10，c ＝0，可排除选项C.故选D.7．(2020·严州模拟)若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________． 解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)·(b 1－b 2)， 因为a 1<a 2，b 1<b 2， 所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0， 即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1. 答案：a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 18．a ，b ∈R ，a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是________．解析：若ab ＜0，由a ＜b 两边同除以ab 得，1b ＞1a，即1a ＜1b ；若ab ＞0，则1a ＞1b.所以a ＜b 和1a ＜1b同时成立的条件是a ＜0＜b .答案：a ＜0＜b9．用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 cm ，要求菜园的面积不小于216 m 2，靠墙的一边长为x m ，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________．解析：矩形靠墙的一边长为x m ，则另一边长为30－x 2 m ，即⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2 m ，根据题意知⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥216 10．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2，3≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．解析：因为f (x )过原点，所以设f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝a －b ，f （1）＝a ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f （－1）＋f （1）]，b ＝12[f （1）－f （－1）]，所以f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又⎩⎪⎨⎪⎧1≤f （－1）≤2，3≤f （1）≤4， 所以6≤3f (－1)＋f (1)≤10，即f (－2)的取值范围是[6，10]．答案：[6，10]11．(2020·嘉兴期中)已知a ，b 是正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 解：(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2)＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )，因为a ≠b ，a ＞0，b ＞0，所以(a －b )2(a ＋b )＞0，所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.12．已知a ＞b ＞0，m ＞0且m ≠a .试比较：b a 与b －m a －m 的大小． 解：b a －b －m a －m ＝b （a －m ）－a （b －m ）a （a －m ）＝m （a －b ）a （a －m ）. 因为a >b >0，m >0.所以a －b >0，m (a －b )>0.(1)当a >m 时，a (a －m )>0，所以m （a －b ）a （a －m ）>0， 即b a －b －m a －m >0， 故b a >b －m a －m. (2)当a <m 时，a (a －m )<0.所以m （a －b ）a （a －m ）<0， 即b a －b －m a －m <0，故b a <b －m a －m. [综合题组练]1．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知a >0且a ≠1，则“a b>1”是“(a －1)b >0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.由a b>1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，b <0；由(a －1)b >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，b <0，又a >0且a ≠1，所以“a b >1”是“(a －1)b >0”的充要条件．2．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b ) B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a 解析：选B.根据题意，令a ＝2，b ＝12进行验证，易知a ＋1b ＝4，b 2a ＝18，log 2(a ＋b )＝log 252＞1，因此a ＋1b ＞log 2(a ＋b )＞b 2a . 3．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：因为ab 2>a >ab ，所以a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2>1，b <1，解得b <－1； 当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，无解． 综上可得b <－1.答案：(－∞，－1)4．已知1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2y的取值范围是________． 解析：由1≤lg(xy )≤4，－1≤lg x y≤2得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y ＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5. 答案：[－1，5]5．(2020·金华十校联考)某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5 折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．6．设不等式x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立，求实数a 的最小值． 解：原题即a ≥x ＋y x ＋y对一切x ＞0，y ＞0恒成立， 设A ＝x ＋y x ＋y， A 2＝x ＋y ＋2xy x ＋y ＝1＋2xy x ＋y≤2， 当x ＝y 时等号成立，因为A ＞0，所以0＜A ≤ 2，即A 有最大值 2.所以当a ≥ 2时，x ＋y ≤a x ＋y 对一切x ＞0，y ＞0恒成立．所以a 的最小值为 2.。