数学“四基”中“基本活动经验”的认识与思考王新民1，王富英2,王亚雄3（1，3．内江师范学院数学系，四川内江641112；2．成都市龙泉驿区教育研究培训中心，四川成都610100）摘要: 数学活动是人类对待外部世界的一种特殊方式，是人类进行数学抽象与数学应用的实践过程．在数学教学中，数学活动的形式或过程多种多样，但最基本的是“演绎活动”与“归纳活动”。

数学活动经验是一种过程性知识，是在数学活动中所形成的一种“活动图式”，主要由感性知识、情绪体验和应用意识三种成分构成．在众多的数学活动经验中，最为基本的是归纳活动经验和演绎活动经验。

数学基本活动经验与数学“双基”和“数学基本思想”相互依存，共同构成学生的数学认知结构。

关键词: 数学活动；经验；基本活动经验；数学“四基”中国数学的双基教学是植根于中国本土的教学理念，带有鲜明的中国特色，是中国数学教育的优良传统.随着时代的发展，数学双基教学的理念又不断发展，不断注入新的活力．《国家数学课程标准》制定组组长、东北师大校长史宁中教授在2006-2007年数学高研班澳门、宁波会上的发言中提出了“数学教学的四基”，引起了数学教育界的广泛关注．数学“四基”是指数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验[1]．在数学教学中，强调数学“双基”和“数学思想方法”已成为共识，但对“基本活动经验”意义的界定和在教学中如何实施还需要进一步研究．本文就“基本活动经验”的含义以及与数学“双基”和“基本思想”的关系进行一些初步的探讨．1数学活动1.1 活动“活动”一词的英文为“activity”，它源于拉丁文“act”，其基本含义为“doing”，即“做”．在西方哲学史上，古希腊哲学家亚里斯多德最早提出“活动”这一概念．它把活动划分为理论活动、制作活动、实践活动．此后，黑格尔、费尔巴哈等均对活动进行了论述，但他们都是从主观方面来抽象的理解“活动”的．马克思把他们的活动理论进行了合理的扬弃，提出了科学的活动观．马克思认为,活动是“人对于外部世界的一种特殊的对待方式．”[2]马克思把人的活动理解为感性的、能动的社会实践．因为，“社会生活在本质上就是实践的”．而人的活动表现为多种多样，按人对外部世界作用的方式可分为认识活动、实践活动、交往活动．人对事物的认识是在实践活动的基础上产生初步的感知，在此基础上通过对比、分析、抽象、归纳、概括等认识活动再上升到理性的认识以揭示出事物的本质特征．因此，活动的最初形式是在实践过程中的感知活动，在此基础上再形成理性的认识活动（经验概括活动）．1.2 数学活动数学本身是人类活动的产物，是人类在社会实践活动过程中对现实世界数量关系和空间形式经验基金项目：四川省教育厅（西华师范大学四川省教育发展研究中心立项项目）教育科学科研重点项目（CJF013）作者简介：王新民（1962—），男，汉族，甘肃敦煌人，内江师范学院数学系副教授，教育硕士，主要从事数学教育与数学文化研究．概括的结果．数学的产生、形成与应用的过程是人类的一项实践活动．因此，数学活动是人类对待外部世界的一种特殊的方式，是人类进行数学抽象与数学应用的实践过程．从数学发展来看，数学作为人类的一项活动，有两大历史渊源：一是以古希腊数学为代表的演绎体系；二是以古代中国数学为代表的归纳体系．前者以形式化的论证为其主要特征，而后者以经验性的算法为其主要特征．在漫长的发展过程中，二者的相互促进与相互融合，使得数学活动具有了鲜明的二重性——活动内容的形式性和活动过程的经验性，正如著名数学教育家波利亚指出的：“数学具有两个面，……以欧几里得方式表现出来的数学看上去是一种系统的演绎科学；但在形成过程中的数学看上去却是一种实验性的归纳科学．”[3]从数学活动的观点来看，数学具有静止状态和活动状态两种形态．作为静止状态的数学是把数学作为一个对象性的数学，它是指数学经验概括活动的结果，即活动结果的数学，表现形式为逻辑整理有序的、封闭的、静止的状态；作为活动状态的数学注重的是数学活动的过程性，是指从现实生活出发的数学化过程，是人类活动的数学，即活动过程的数学.表现形式为动态的、开放的活动状态．而作为学生学习的数学不应是静止状态的数学而应该是活动状态的数学．正如弗赖登塔尔指出的：“学生所要学习的不是作为一个封闭系统的数学，而是作为一项人类活动的数学，即从现实生活出发的数学化过程．如果需要也可以包括从数学本身出发的数学化过程．”[4]因此，“数学教学是数学活动的教学”[5]．1.3 数学活动的层次从活动的内容角度，前苏联数学教育家A·A·斯托利亚尔将数学活动分为三个阶段(层次)：“经验材料的数学组织化，数学材料的逻辑组织和数学理论的应用，这三个阶段构成了数学学习者的学习活动的完整过程．”[5]从数学学习的角度，数学活动体现为数学化的过程，可分为先后两个层次：水平数学化，指把情景问题转化为数学问题的过程；垂直数学化，指建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程[4]．而从认识论的角度，苏格兰数学家波塞尔概述道：“数学是人类的一种最重要的活动．它不只是一种游戏，尽管我们喜欢玩它；它不只是一种艺术，尽管有时它是至高无上的艺术；它并不像哲学家所想象的是无聊的一小步、一小步推理组成的长链．数学活动是包容了从‘粗俗’的手工劳作到‘高雅’的理性发现的系统活动．”[6]1.4 基本数学活动“问题是数学的心脏”，数学活动是由“情景问题”驱动的，“问题解决”是其主要的活动形式．在提出问题、形成相关概念、探究解决问题的策略与方法的时候主要以归纳活动为主，而在整理结论、表述问题解答过程以及进行形式化训练的时候则以演绎活动为主．在数学教学中，数学活动的形式或过程是多种多样的．《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）中强调了观察、试验、猜测、验证、推理与交流等数学活动；《普通高中数学课程标准》（实验）中强调的数学思维活动过程有：直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号标示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等，并且强调应将数学探究、数学建模和数学文化等三大数学活动贯穿整个高中教学始终．但其中最基本、最主要的数学活动是以逻辑为特征的演绎论证活动和以经验为特征的归纳发现活动，其它的数学活动都是围绕这两种活动而展开的，或者是一种拓展，或者是一种延伸，或者是一种组合．这里的“归纳”是指“从特殊到范围更广的推理”，就方法而言，包括枚举法、归纳法、类比法、统计推断、因果分析、以及观察试验、比较分类、综合分析等[7]．因此，数学学习中的基本数学活动是“演绎活动”与“归纳活动”．2数学基本活动经验2.1 经验的含义及其构成“经验”向来是教育学、哲学、学习心理学等领域中所讨论的重要课题，无论是杜威所倡导的经验课程，还是拉卡托斯关于数学的“拟经验”观点以及建构主义的学习理论，“经验”均是其中的核心概念．但经验的含义到底是什么呢? 按《现代汉语词典》的解释,“经验”具有两个方面的含义.一是指由实践得来的知识与技能；二是经历．美国实用主义教育家杜威曾对“经验”给出过如下解释：“经验包含一个主动的因素和被动的因素，这两个因素以特有形式结合着；在主动的方面,经验就是尝试，在被动的方面，经验就是承受结果”[8]．孙宏安教授在概括了关于经验各方面的解释后给出如下定义：“经验指的就是个人所获得的感性知识，及在感性知识基础上，经过自己系统整理和由实践反复检验了的科学知识，以及个人经历对个人身心发展产生的影响．”[9]我们认为，经验是一种过程性知识，是在实践活动中所形成的一种“活动图式”．它主要由三种成分组成，一是知识性成分，是指在活动过程中所建构的关于活动主客体的个人意义，包括操作的直观感知、建立的新旧知识之间的联系以及对活动过程的感悟等，是人们在活动过程中所悟出的道理，是对活动过程的直观把握，其合理性主要由活动的有效性来保证，如“老马识途”；二是体验性成分，是指在活动过程中所产生的情绪体验，包括成就感与失败感、自我调节心态的体会等，如“大赛经验”；三是观念性成分，是指活动过程所形成的意识和信念，如应用意识、创新意识、做事的信心与信念等等．2.2 经验与活动的关系杜威指出：“经验即所做(doing)的事情、动作和感受(或经历)的密切关系就形成我们所谓经验”[10]；“经验就是人和自己所创造的环境的‘交涉’”．因此，经验是活动主体对客体的能动反映，经验与活动（做事）是紧密相连的．经验在活动中产生，又在活动中体现，并且只体现在需要这种经验的活动之中．经验是活动的过程和结果，活动是经验的源泉，而经验又是为人们的活动服务的，没有亲历的实践活动就根本谈不上什么经验，活动与经验的关系是“皮”与“毛”的关系．2.3 数学基本活动经验在数学教学中，数学活动的一个主要目的是让学生经历探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程以及反思的过程等，获取丰富的过程性知识，最终形成应用数学的意识．结合前面对“经验”三种成分的分析，我们可以给出数学活动经验的如下理解：数学活动经验是指学习者在参与数学活动的过程中所形成的感性知识、情绪体验和应用意识．感性知识是指具有学生个人意义的过程性知识，也包括学生大脑中那些未经训练的、不那么严格的数学知识；情绪体验是指对数学的好奇心和求知欲、在数学学习活动中获得的成功体验、对数学严谨性与数学结果确定性的感受以及对数学美的感受与欣赏等；应用意识包括“数学有用”的信念、应用数学知识的信心、从数学的角度提出问题与思考问题的意识以及拓展数学知识应用领域的创新意识，而且应用意识是数学基本活动经验的核心成分，正如朱德全教授指出的：“应用意识的生成便是知识经验形成的标志”[11]．基于对数学基本活动的认识，我们认为可以把演绎活动经验和归纳活动经验称之为数学基本活动经验．数学基本活动经验是建立在人们的感觉基础上的，又是在活动过程中具体体现的，与形式化的数学知识相比，它没有明确的逻辑起点，也没有明显的逻辑结构，是动态的、隐性的和个人化的．它可以是米三国藏眼中的使人受益终生的深深铭刻在头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法，甚至经历的挫折等；也可以是克莱因笔下的从整体意义上对数学活动的领悟[6]．在数学学习中，要使学生真正理解数学知识，感悟数学的理性精神，形成创新能力，就应该让学生积累丰富而有效的数学活动经验，这些经验包括检索、抽取数学信息的经验，选择和运用已有知识的经验、建立数学模型的经验，应用数学符号进行表达的经验，抽象化、形式化的经验，选择不同数学模型的经验，预测结论的经验，对有关结论进行证明的经验，调整、加工、完善数学模型的经验，对所得结果进行解释和说明的经验，巩固、记忆、应用所得知识的经验等等．这些经验的最基本的成分是演绎活动经验与归纳活动经验．3 数学“四基”之间的关系关于数学“双基”的涵义非常丰富，可以有知识形态、教学形态与个体形态等三种表现形式[12]．从教学的角度，邵光华教授与顾泠沅先生指出：“双基教学重视基础知识、基本技能的传授，讲究精讲多练，主张‘练中学’，相信‘熟能生巧’，追求基础知识的记忆和掌握、基本技能的操演和熟练，以使学生获得扎实的基础知识、熟练的基本技能和较高的学科能力为其主要的教学目标．”[13]其中的“精讲多练”、“练中学”、“熟能生巧”等主要是围绕“演绎活动”而展开的，其目的是让学生获得形式化的结果知识——用数学术语或数学公式所表述的系统知识．基本活动经验则主要是指在数学基本活动中形成和积累的过程知识．由于在我国的数学教学中过分强调“演绎活动”而削弱甚至忽视了“归纳活动”，因此，基本活动经验更加强调关于归纳活动的经验．在数学学习过程中，“双基”与基本活动经验是相互依存、相互促进的，也是可以相互转化的，在二者的不断融合、多次的实际应用中，通过反思提炼而形成的一种具有奠基作用和普遍指导意义的知识经验便是数学基本思想．由此，我们可以给出数学“四基”的如下关系结构：从知识的角度来看，“双基”是一种理性的、形式化的结果性知识，而基本活动经验则是一种感性的、情景化的过程性知识，它们各强调了数学知识的一个侧面，前者形成的是一种知识系统，而后者形成的是一种经验系统，二者的有机结合才能形成完整的数学知识结构．就方法而言，“双基”主要以演绎法为主，演绎法只是一种依据固定的前提（定义、公理、定理等），利用相对固定的推理程序（三段论），得出固定结论的方法，而结论的预测与发现，推理思路的探索与调整以及知识的实际应用等，靠演绎法是推不出来的，从这个意义上讲，“儿童不可能通过演绎法学会新的数学知识！”[4]关于“双基”的学习需要有一个意义建构的过程，此过程是以原有经验为基础的，又是从操作性的经验开始的，并且所建构的意义最终是以经验的形态储存学生的大脑当中的，就如著名教育家陶行知所作的关于人获得知识过程的嫁接树枝的比喻：“我们要有自己的经验做根，以这经验所发生的知识做枝，然后别人的知识才能接得上去，别人的知识方才成为我们知识的一个有机体部分．”[14]因此，“双基”只有通过经验化才能真正成长为学生的数学素养．相对于“双基”而言，“基本活动经验”是比较模糊的、不太严谨的，缺乏明晰的结构体系，尤其是那些没有经过加工的“原始经验”，含有许多主观的、片面的非本质因素，就像数学家克里斯戈尔所描述那样：“数学活动过程中所获得的知识总是不够精确的和片面的，其整体结构好像一片原始森林，或者说是交相缠绕的树枝．”[6]因此，要使“基本活动经验”更加确切、合理而有效，就需要经历一个概念化与形式化的过程，虽然，在问题解决的过程中，某些经验本身就具有很好的指导作用和实用价值，但毕竟数学知识本质上是追求严谨性与确定性的．经过概念化与形式化，“基本活动经验”就可以转化或融入到“双基”之中，不但使“基本活动经验”得到了升华，也使“双基”因为充满了学生的感受而获得了某种生命的活力．史宁中教授指出：“‘基本思想’主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想．”[7]关于数学基本思想，在以往的文献中有诸多论述．胡炯涛先生认为：“最高层次的基本数学思想是数学教材的基础与起点，整个中学数学的内容均循着基本数学思想的轨迹而展开．……‘符号化与变换思想’，‘集合与对应思想’以及‘公理化与结构思想’，它们构成了最高层次的基本数学思想．”[15]在中学数学教学中影响比较大的是任子朝先生提出的四种基本思想：数形结合的思想，分类讨论的思想，函数与方程的思想，化归的思想[16]．然而，在众多的数学思想中起着奠基性、引领性作用的还应该是归纳思想与演绎思想．如“化归思想”，在探索化归的方向、发现问题的结论、寻找解决问题的途径时，主要运用的是归纳思想；在链接“中间问题”、整理和表述化归结果时，则需运用演绎思想，而且化归的主要策略——“一般化”与“特殊化”本身就是归纳思想与演绎思想的具体体现．从形成过程来看，演绎思想主要是在“双基”的形式化训练中练就的，而归纳思想则主要是在“基本活动经验”的不断积累中逐步孕育的．归纳思想与演绎思想是数学思想体系的两翼，二者的协同发展，才能使数学知识健康、和谐地成长为学生的智慧．总之，数学基础知识、基本技能、基本活动经验与基本思想既是数学学习活动的核心内容与主要目标，也是学生数学素养最为重要的组成部分，它们共同构筑了学生的数学知识结构．参考文献：[1] 巩子坤等．2006—2007数学教育高级研讨班纪要[J]．数学教育学报，2007，16(3)：99-102．[2] 冯契．哲学大辞典（马克思主义哲学卷）[M]．上海：上海辞书出版社，1992．[3] G·波利亚．怎样解题[M]．上海：上海科技教育出版社，2002．[4] 孙晓天．数学课程发展的国际视野[M]．北京：高等教育出版社，2003．[5] 张静．数学新课程与数学活动的教学[J]．通化师范学院学报，2006，17（6）：115-116．[6] 涂荣豹，宁连华．论数学活动的过程性知识[J]．数学教育学报，2002，11（2）：9-13．[7] 史宁中．数学课程标准的若干思考[J]．数学通报，2007，46（5）：1-5．[8] 杜威．哲学的改造[M]．北京：商务印书馆，1989．[9]孙宏安．课程概念的一个阐释[J]．教育研究，2000，3：44-47．[10]杜威．经验与自然[M]．北京：商务印书馆，1960．[11]朱德全．知识经验获取的心理机制与反思型教学[J]．高等教育研究，2005，26（5）：76-79．[12]王新民，马岷兴．关于“数学双基”存在形态的分析[J]．数学通报，2006，45(8)：10-12．[13]邵光华，顾泠沅．中国双基教学的理论研究[J]．教育理论与实践，2006，26（2）：48-52．[14]陈佑清．不同素质发展中的直接经验与间接经验的关系[J]．上海教育研究，2002，11：27-29．[15]胡炯涛．数学教学论[M]．南宁：广西教育出版社，1996．[16]任子朝．1993年全国高考数学试卷评价报告[J]．中学数学月刊，1994，2：1-4．Understanding and Thinking about the Experience of the FundamentalActions in Mathematics EducationWANG Xin-min1,WANG Fu-ying2,WANG Ya-xiong3(1,3.Department of Mathematics, Neijiang Teachers College, Neijiang Sichuan 641112, China2.The Staff Room of Bureau of Education at Longquanyi Borough in Chengdu，Sichuan Chengdu 610100, China)Abstract: Mathematical actions are a espial method which man treats the outside world. And it is also the process which man carry’s out the practice of the abstract Mathematics and the applied Mathematics. In mathematical teaching, its actions and its process are various. But what is the essential are the deductive method and the inductive method. The mathematical action experience is the knowledge of course which is formed an “action s chemata” in it. It is composed of perceptual knowledge, emotional experience and applied consciousness. Among all the mathematical actions, the deductive method and the inductive method are essential. The mathematical essential actions and the mathematical essential thought are interdependent which is composed of the students’ mathematical knowledge.Key Words: mathematical actions; experience; the Experience of the Fundamental Actions; “four basics” in Mathematics Education.。