《线性代数》期终试卷1
（ 2学时）
本试卷共七大题

一、填空题 (本大题共7个小题，满分25分)：
1. (4分)设阶实对称矩阵的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是

, 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是
( )；

2. (4分)设阶矩阵的特征值为,,,, 其中 是 的伴随
矩阵, 则 的行列式 ( )；

3. (4分)设 , , 则
( )；

4. (4分)已知维列向量组所生成
的向量空间为,则的维数dim( )；
5. (3分)二次型经过正交变换可化为
标准型 ,则( )；
6. (3分)行列式中 的系数是( )；
7. (3分) 元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知 是它的个

解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是
( )。

二、计算行列
式：

(满分10分)
三、设 , , 求 。
(满分10分)

四、取何值时, 线性方程组 无解或有解？
有解时求出所有解（用向量形式表示）。
(满分15分)
五、设向量组线性无关 , 问: 常数 满足什么条件时, 向量组
, , 也线性无关。

(满分10分)
六、已知二次型 ，
(1) 写出二次型 的矩阵表达式；
(2) 求一个正交变换 ，把 化为标准形, 并写该标准型；
(3) 是什么类型的二次曲面?
(满分15分)
七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）：
1．(7分)设向量组线性无关 , 向量 能由线性表示 , 向量

不能由线性表示 . 证明: 向量组 也线性无关。
2. (8分)设是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组
必有非零解。
《线性代数》期终试卷2
（ 2学时）
本试卷共八大题
一、
是非题（判别下列命题是否正确，正确的在括号内打√，错误的在括号内打
×；每小题2 分，满分20 分）：

1. 若 阶方阵 的秩 ，则其伴随阵
。 （ ）

2. 若 矩阵 和 矩阵 满足 ，则
。 （ ）

3. 实对称阵 与对角阵 相似： ，这里 必须是正交
阵。 （ ）

4. 初等矩阵都是可逆阵，并且其逆阵都是它们本
身。 （ ）

5. 若 阶方阵 满足 ，则对任意 维列向量 ，均有
。 （ ）
6. 若矩阵 和 等价，则 的行向量组与 的行向量组等
价。 （ ）

7. 若向量 线性无关，向量 线性无关，则 也线性无
关。 （ ）

8. 是 矩阵，则
。
（ ）

9. 非齐次线性方程组 有唯一解，则
。 （ ）

10.正交阵的特征值一定是实
数。
（ ）
二、
设阶行列
式：

试建立递推关系，并求。
(满分10分)

三、设 ， ，并且 ，求
(满分10分)

四、设 ，矩阵 满足 ，其中 是 的伴随
阵，求 。

(满分10分)

五、讨论线性方程组 的解的情况，在有解时求出通解。
(满分12分)

六、求一个正交变换 ，将二次型
化为标准形。

(满分14分)

七、已知 ，由它们生成的向量空间记为 ， 为所有
3维列向量构成的向量空间，问：

1． 取何值时， 但 ，为什么？
2． 取何值时， ，为什么？
( 满分 12 分 )
八、证明题（本大题共2个小题，满分12分）：
1．若2阶方阵满足 ，证明 可与对角阵相似。

2. 若 是正定阵，则其伴随阵 也是正定阵。

《线性代数》期终试卷3
（ 3学时）
一、填空题 (15’) ：

1 ．设向量组, 它的秩是
( ) ，一个最大线性无关组是
( ).

2 ．已知矩阵和相似 , 则x =
( ).

3 ．设是秩为 的 矩阵 , 是 矩阵 , 且, 则 的秩的
取值范围是
(
).

二、计算题：
1 ．(7’) 计算行列式.
2 ．(8’) 设, 求.
3 ．(10’) 已知 维向量空间 的两个基分别为 ;
, 向量 . 求由基 到基
的过渡矩阵 ; 并求向量 在这两个基下的坐标.

4 ．(15’) 讨论下述线性方程组的解的情况；若
有无穷多解，则必须求出通解 .

5．(15’)已知有一个特征值为, 求正交阵, 使得
为对角阵 .

6 ．(10’) 在次数不超过 3的实系数多项式所成的线性空间 中定义
线性变换?为?= , 求线性变换?在基
下的矩阵 .
三、证明题：
1． (10’) 已知矩阵与合同, 矩阵与合同, 证明: 分块对角矩阵
与也合同.
2 ．(10’) 设是正交矩阵 , , 是的特征值 , 是相应于
特征值, 的特征向量 , 问 : 与是否线性相关 , 为什么 ?
与是否正交 , 为什么 ?
《线性代数》期终试卷4

（ 3学时）
本试卷共九大题
一、选择题（本大题共 4个小题，每小题2分，满分8分）：

1． 若阶方阵均可逆，，则
(A) (B) (C) (D)
答( )

2． 设是元齐次线性方程组的解空间，其中，则的维数为
(A) (B) (C) (D)
答( )

3． 设是维列向量，则=
(A) (B) (C) (D)
答( )
4． 若向量组 可由另一向量组线性表示，
则

(A)
；

(B) ；

(C) 的秩的秩；(D) 的秩的秩.
答( )
二、填空题（本大题共 4个小题，每小题3分，满分12分）：

1. 若，则 。
2. 设，，，则
3. 设4 阶方阵的秩为2 ，则其伴随阵的秩为 。

4. 设是方阵的一个特征值，则矩阵的一个特征值
是 。

三、计算行列式

，（）
（满分8分）
四、设，，，求，使得
。
（满分12分）
五、 在中有两组基：

和
写出到的变换公式以及到的变换公式。
（满分8分）
六、当取何值时，线性方程组

有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求出通解。
（满分14分）

七、已知，为3阶单位矩阵，，求一个正交矩阵，使得
为对角阵，并写出该对角阵.

（满分16分）
八、设为已知的矩阵，集合
1．验证对通常矩阵的加法和数乘构成实数域下的线性空间；
2．当时，求该线性空间的一组基。
（满分10分）
九、证明题（本大题共 2个小题，每小题6分，满分12分）：

1．设为一向量组，其中线性相关，线性无关，证明能
由线性表示。

2．若为阶方阵，，证明：为可逆矩阵。