z = a eiθ
F(z) U a ei θ + μ e- i θ a
(U a + μ ) cos θ +i (Ua - μ ) sin θ
a
a
圆表面的流函数 Ψ = (U a - μ) sin θ a
显见，只要选 μ = Ua2 ，则在圆表面上 0
。流动图谱见附图。
可见看出圆R＝a把流场分为两部分：由于流体不可能穿越一条流线流动，可以
R a 的区域形成的流场即是速度为U的均匀
来流绕流 R＝a 的圆柱流动。
4.7 圆柱的无环量绕流
达朗贝尔佯谬
均匀来流绕流圆柱的速度场对 x 轴和 y 轴都是对称的， 因此压强分布对 x 轴和 y 轴也是对称的，于是圆柱所 受流体作用力的合力为零，即圆柱不但不承受与气流 垂直的升力，也不承受沿流动方向的阻力。
4πUa Γ
2
+
根号前取“一”
4Ua / 0, R 0
意味着驻点在圆内，这是不可能的。
根号前取“+”
号
R=
Γ
1+
a 4πUa
1
-
4πUa Γ
2
R/a>1, 驻点在圆柱面外正下方。
1 4Ua
4.8 有环量圆柱绕流
升力和阻力
有环量绕流速度场对 y 轴对称，压强场也对 y 轴对称，因此在 x 轴方向圆柱所受表面力合力为零。
4.6 偶极子流动
F(z) μ z
显然 z ＝ 0 处是上述函数的奇点。
4.6 偶极子流动
偶极子是一对无限接近的非常强的点源和非常强的点汇
F(
z)
m 2π
ln
z
+
ε
m 2π
ln(z
-
ε) =
m 2π
ln
z+ε z-ε
=
m 2π
ln
+ -
ε
z ε
z
0 ε <<1
z
=
m 2π
ln
+
ε z
+
ε z
= (uR - i uθ ) e-i θ
uR
=
-
μ R2
cos θ
uθ
=
-
μ R2
sin
θ
4.6 偶极子流动
流场中流线的方向可依据点源、点汇的位置来确定，也可
根据 uR ,uθ 方向而定。
上述流动称偶极子流动，处于流场中心的奇点称偶极子。
4.6 偶极子流动
强度为μ，位于点 z 0的偶极子的复位势： F(z) μ z - z0
ÑC F(z) dz = 2 π i ( R1 + R2 +...+ Rn )
式中 R1 是 F(z) 在点 z1 的留数，R2 是 F(z) 在点 z 2 的留数，等等。
4.10 作用在圆柱上的力和力矩
作用在圆柱上的力
2 C0
2 C0
Ñ = ρ 2
-
v2
)dy
+i
uvdy
+
1 2
(u 2
-
v2
)dx
与动量定理求出的柱体受力X，Y的表达式相比得，
Ñ X - iY = i ρ W 2dz 2 C0
上式中X，Y是作用在柱体重心的力，方向分别沿 x 与 y 轴正向；C0 是包围柱体的任意曲面；W为复速度。
再利用伯努利方程求出柱体表面压强分布，作积分求出表面力合 力与合力矩。
•复变函数方法 布拉修斯公式
Ñ X -Yi = i ρ W 2dz 2 C0
Ñ M
=
-
ρ 2
Re
C0
z
W
2dz
而曲线积分则可利用留数定理求出。
4.9 布拉修斯公式
柱体受力分析
设定常均匀来流绕流任意形 状的柱体，周围流体对柱体 的作用力可简化为作用在柱 体重心的力X、Y 以及力矩 M（取xoy坐标原点在柱体 质心）。
V
ρurdV
ÑCS ρurδQ
=
t
V
ρurdV
+
蜒 ρurur
S
nrdS
=
S
ρur Q
写成分量形式，
Fx = ÑCS ρuδQ Fy = ÑCS ρvδQ
应用动量定理于上述控制体，
4.9 布拉修斯公式
nr
蜒 x方向， -X - pdy = uρ(udy - vdx)
C0
C0
蜒 y方向， -Y + pdx = vρ(udy - vdx)
4.9 布拉修斯公式
nr
动量矩定理
r M
=
ÑCS
rr
ur
ρ
δQ
对我们研究的控制体，只需要考虑z方向分量方程，
Y nr
M
X
udy
Ci
vdx
pdy
Co
pdx
-M
蜒+ (xpdx+ C0
ypdy) =
C0
ρvx(udy
- vdx)-
ρuy(udy
- vdx)
方程左边第一项是柱体对流体的反力矩， 第二项是C0 外的流体作用在C0上的压力对坐标原点（柱体重心）的矩。 方程右边则是单位时间净流出控制面的流体动量矩，方括号内两项分别
表示动量 ρvδQ, ρuδQ 对坐标原点的矩。由于没有流体通过柱体
表面Ci，积分只在C0上进行。
利用伯努利方程 p = c - 1 ρ u2 - v2 消去上式内的压强项，并考虑到
2
蜒 cdx cdy 0
C0
C0
，力矩M可表示为，
Ñ M [ (u2 v2) (x dx y dy) 2 u v (x dy y dx) ] 2 C0
nr
Y
M
Ci
nr
X udy
vdx
pdy
Co
dl
pdx
取任意形状封闭曲面C0 包围柱体，柱体表面为Ci。以C0 ，Ci 间 的空间为控制体，控制体内的流体受到C0 外流体的压强p的作 用，同时受到柱体的反作用力 －X，－Y，以及反力矩－M的 作用。
4.9 布拉修斯公式
动量定理
r F r F
=
D Dt
4.7 圆柱的无环量绕流
用一个半径为a的圆柱状薄金属壳垂直于均匀流插入 流场并与圆R＝a的流线相重合，将不会对圆内的偶 极子流动和圆外的均匀来流形成干扰。移去金属壳 内的偶极子流体，填充以固体材料形成一个固体圆 柱，圆外的流动将保持不变，也就是说速度为U的均 匀来流和强度为 μ = Ua2 的偶极子流动叠加后在
由于环量的存在，流场对 x 轴不再对称，在圆柱上表面顺时针 的环流和无环量的绕流方向相同，因此速度增加，而在下表面 则方向相反，速度减少。根据伯努利方程上表面压强减小，下 表面压强增大，于是产生向上的合力，称升力。
4.9 布拉修斯公式
求圆柱受力和力矩的方法
•压强积分方法 从复位势求出柱体表面速度分布；
C0
C0
Y nr
M
X
Ci
udy vdx
Ci 是一条流线，没有流体穿过
蜒
CS
Ci
蜒
C0
C0
通过C0上的微分面积的体积流量 δQ = udy - vdx
Co
pdy
dl
微元面在x和y方向受到的压力则分别为：－p dy，p dx
pdx
伯努利方程 p = c - ρ u2 +v2 2
代入 x 和 y 方向的动量方程，并考虑到
a2 iΓ F(z) U (z + )+ ln z +c
z 2π
z = aeiθ
F(z) U (aei θ + ae-i θ )+ i Γ ln(aei θ )+c = 2U cos θ - Γ θ + i Γ ln a +c
2π
2π 2π
令
c = - iΓ lna 2π
，则在圆柱面Ψ＝0 。于是，
1 4Ua
一个驻点， 3 2 。 相当于3，4象限的两个驻点，当Γ增大时，相互靠近最
终汇合在圆柱面的最低点。
4.8 有环量圆柱绕流
圆柱面外的驻点
Γ继续增加，
4Ua
1，
驻点就不可能保持在圆柱面上，而是进入流体中。
驻点方程
U(1 -
a2 R2
)cos θ
=
0
U(1+
a2 R2
)sin θ
=
蜒 cdx cdy 0 ，得
C0
C0
Ñ X = ρ
C0
uvdx
-
u2 - v2
dy
Ñ Y = -ρ
C0
uvdy
+
u2 - v2
dx
Fx = ÑCS ρuδQ Fy = ÑCS ρvδQ
布拉修斯公式
4.9 布拉修斯公式
若已知复速度W(z) ， 则
蜒 i ρ W 2dz = i ρ u - i v2 dx+i dy
θ
-
a2 R2
e-i θ ) +
iΓ 2πR
e-i
θ
=
U
(1
-
a2 R2
)
cos
θ
+
i
U
(1+
a2 R2
)
sin
θ
+
Γ 2πR
e-i
θ
uR
=
U
(1 -
a2 R2
)
cos θ
uθ
=
-U
(1+