2013上海市初中数学竞赛(新知杯)1.已知721,721-=+=b a ，则.________33=-+-b b a a 2.已知43214321//////,//////m m m m l l l l ，._______,20,100===EFGH ILKJ ABCD S S S 则 3.已知F E AC AB A 、，,8,690==︒=∠在AB 上且3,2==BF AE 过点E 作AC 的平行线交BC 于D ，FD 的延长线交AC 的延长线于G ，则.__________=GF 4.已知凸五边形的边长为)(,,,,,54321x f a a a a a 为二次三项式；当1a x =或者5432a a a a x +++=时，5)(=x f ，当21a a x +=时，,)(p x f =当543a a a x ++=时，q x f =)(，则.________=-q p 5.已知一个三位数是35的倍数且各个数位上数字之和为15，则这个三位数为___________.6.已知关于x 的一元二次方程0)2)(1(2=++++m m ax x 对于任意的实数a 都有实数根，则m 的取值范围是_________________.7.已知四边形ABCD 的面积为2013，E 为AD 上一点，CDE ABE BCE ∆∆∆,,的重心分别为321,,G G G ，那么321G G G ∆的面积为________________.8.直角三角形斜边AB 上的高3=CD ，延长DC 到P 使得2=CP ，过B 作AP BF ⊥交CD 于E ，交AP 于F ，则._________=DE二、解答题（第9题、第10题15分，第11题、第12题20分）9.已知︒=∠90BAC ，四边形ADEF 是正方形且边长为1，求CABC AB 111++的最大值.10.已知a 是不为0的实数，求解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-ax y xy a yxxy 1 11.已知：,1>n n a a a a ,,,,321Λ为整数且2013321321=⋅⋅⋅⋅=++++n n a a a a a a a a ΛΛ，求n 的最小值.12.已知正整数d c a 、、、b 满足),13(),13(22-=+=d c b d c a 求所有满足条件的d 的值. 答案：1.27102- 2.60 3.265 4.0 5.735 6.12-≤≤-m 7.3671 8.599.CA BC AB 111++4221+≤ 10.经检验原方程组的解为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=1122a y a a x ，⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=1122a y a a x . 11.【解析】2013,1,1,554321===-===a a a a a n 当满足题设等式，下证当4≤n 时，不存在满足等式要求的整数，不妨设n a a a a ≤≤≤≤Λ321，(1)当4=n 时，611132013⨯⨯=，当4321,,,a a a a 中有负整数时，必为⎩⎨⎧==+⇒-==20132015,1434321a a a a a a ，若2013,143==a a 不满足条件，当20152671,344343<≤+⇒≤⇒≥a a a a a 无解.不可能，当4321,,,a a a a 中无负整数时，显然20134≠a ，6714≤a ，容易验证等式不可能成立.(2)当3=n 时，当321,,a a a 中有负整数时，必为,121-==a a 显然等式不成立，当321,,a a a 中无负整数时，同上容易验证等式不可能成立.(3)当2=n 时，21,a a 均为正整数，同上易验证等式不可能成立. 综上所述，n 的最小值为5.12.85=d2013上海新知杯初中数学竞赛答案2012年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷题号一（1~8）二总分9 10 11 12得分评卷复核一、填空题（每题10分，共80分）1. 已知的边上的高为，与边平行的两条直线将的面积三等分，则直线与之间的距离为_____________。

2. 同时投掷两颗骰子，表示两颗骰子朝上一面的点数之和为的概率，则的值为______________。

3. 在平面直角坐标系中，已知点（，），点在直线上，使得是等腰三角形，则点的坐标是____________________。

4. 在矩形中，。

点分别在上，使得。

是矩形内部的一点，若四边形的面积为，则四边形的面积等于_______________。

5. 使得是素数的整数共有___________个。

6. 平面上一动点到长为的线段所在直线的距离为，当取到最小值时，_____________。

7. 已知一个梯形的上底、高、下底恰好是三个连续的正整数，且这三个数使得多项式（是常数）的值也恰好是按同样顺序的三个连续正整数，则这个梯形的面积为________________。

8. 将所有除以余和除以余的正整数从小到大排成一列，设表示这数列的前项的和，则___________。

（这里表示不超过实数的最大整数。

）二、解答题（第9,10题，每题15分，第11,12题，每题20分，共70分）9. 如图，是正方形内一点，过点分别作的垂线，垂足分别为。

已知，求证：或者，或者。

10. 解方程组。

11. 给定正实数，对任意一个正整数，记，这里，表示不超过实数的最大整数。

（1） 若，求的取值范围；（2） 求证：。

12. 证明：在任意个互不相同的实数中，一定存在两个数，满足2011年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷题号 一（1~8） 二 总分9 10 11 12得分 评卷 复核一、 填空题（每题10分，共80分）1. 已知关于x 的两个方程：ΛΛ032=+-m x x ①，ΛΛ02=++m x x ②，其中0≠m 。

若方程①中有一个根是方程②的某个根的3倍，则实数m 的值是___________。

2. 已知梯形ABCD 中，AB //CD ，︒=∠90ABC ，AD BD ⊥，5=BC ，13=BD ，则梯形ABCD 的面积为_______________。

3. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的6张卡片中任意抽取3张，则抽出卡片的编号都大于等于2的概率为______________。

4. 将8个数7-，5-，3-，2-，2，4，6，13排列为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，使得()()22h g f e d c b a +++++++的值最小，则这个最小值为____________。

5. 已知正方形ABCD 的边长为4，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，使得3=AE ，2=BF ，线段AF 与DE 相交于点G ，则四边形DGFC 的面积为_____________。

6. 在等腰直角三角形ABC 中，︒=∠90ACB ，P 是ABC ∆内一点，使得11=PA ，7=PB ，6=PC ，则边AC 的长为______________。

7. 有10名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场），规定获胜得2分，平局得1分，负得0分。

比赛结束后，发现每名选手的得分各不相同，且第2名的得分是最后五名选手的得分和的54，则第2名选手的得分是_________。

8. 已知a ，b ，c ，d 都是质数（质数即素数，允许a ，b ，c ，d 有相同的情况），且abcd 是35个连续正整数的和，则d c b a +++的最小值为_________。

二、 解答题（第9，10题，每题15分，第11，12题，每题20分，共70分） 9. 如图，矩形ABCD 的对角线交点为O ，已知︒=∠60DAC ，角DAC 的平分线与边DC交于点S ，直线OS 与AD 相交于点L ，直线BL 与AC 相交于点M 。

求证：LC SM //。

解10. 对于正整数n ，记n n ⨯⨯⨯=Λ21!。

求所有的正整数组()f e d c b a ,,,,,，使得!!!!!!f e d c b a ++++=，且f e d c b a ≥≥≥≥>。

解11. （1）证明：存在整数x ，y ，满足2022422=++y xy x ；（2）问：是否存在整数x ，y ，满足?2011422=++y xy x 证明你的结论。

解12. 对每一个大于1的整数n ，设它的所有不同的质因数为1p ，2p ，...，k p ，对于每个()k i p i ≤≤1，存在正整数i a ，使得1+<≤i i a ia i p n p ，记()k ak aap p p n p +++=Λ2121例如，()895210026=+=p 。

（1）试找出一个正整数n ，使得()n n p >；（2）证明：存在无穷多个正整数n ，使得()n .n p 11>。

解2010年（新知杯）上海市初中数学竞赛试卷一、填空题（第1~5小题，每题8分，第6~10小题，每题10分，共90分）1. 已知31=+x x ，则=+++10551011x x x x _________。

2. 满足方程()()33222=-+++y x y x 的所有实数对()y x ，为__________。

3. 已知直角三角形ABC 中，3690===∠CA BC C ，，ο，CD 为C ∠的角平分线，则_________。

4. 若前2011个正整数的乘积201121⨯⨯⨯Λ能被k 2010整除，则正整数k 的最大值为________。

5. 如图，平面直角坐标系内，正三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为（1，0），（3，0），过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM=MN ，则点M 的坐标为_________。

6. 如图，矩形ABCD 中，AB=5，BC=8，点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，使得AE=2，BF=5，DG=3，AH=3，点O 在线段HF 上，使得四边形AEOH 的面积为9，则四边形OFCG 的面积是_________。

7. 整数q p ，满足2010=+q p ，且关于x 的一元二次方程0672=++q px x 的两个根均为正整数，则=p ________。

8. 已知实数c b a ，，满足0=++≥≥c b a c b a ，且0≠a 。

设21x x ，是方程02=++c bx ax 的两个实数根，则平面直线坐标系内两点()()1221x x B x x A ，，，之间的距离的最大值为_______。

9. 如图，设ABCDE 是正五边形，五角星ACEBD （阴影部分）的面积为1，设AC 与BE 的交点为P ，BD 与CE 的交点为Q ，则四边形APQD 的面积等于_______。