第41讲逻辑推理与证明复数框图高三新数学第一轮复习教案〔讲座41—逻辑、推理与证明、复数、框图〕一．课标要求：1．常用逻辑用语〔1〕命题及其关系①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题；②明白得必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系；〔2〕简单的逻辑联结词通过数学实例，了解"或"、"且"、"非"逻辑联结词的含义。

〔3〕全称量词与存在量词①通过生活和数学中的丰富实例，明白得全称量词与存在量词的意义；②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。

2．推理与证明〔1〕合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发觉中的作用；②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，把握演绎推理的差不多模式，并能运用它们进行一些简单推理；③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

〔2〕直截了当证明与间接证明①结合差不多学过的数学实例，了解直截了当证明的两种差不多方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的摸索过程、特点；②结合差不多学过的数学实例，了解间接证明的一种差不多方法--反证法；了解反证法的摸索过程、特点；〔3〕数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题；〔4〕数学文化①通过对实例的介绍〔如欧几里德«几何原本»、马克思«资本论»、杰弗逊«独立宣言»、牛顿三定律〕，体会公理化思想；②介绍运算机在自动推理领域和数学证明中的作用；3．数系的扩充与复数的引入〔1〕在咨询题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾〔数的运算规那么、方程理论〕在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系；〔2〕明白得复数的差不多概念以及复数相等的充要条件；〔3〕了解复数的代数表示法及其几何意义；〔4〕能进行复数代数形式的四那么运算，了解复数代数形式的加减运算的几何意义。

4．框图〔1〕流程图①通过具体实例，进一步认识程序框图；②通过具体实例，了解工序流程图〔即统筹图〕；③能绘制简单实际咨询题的流程图，体会流程图在解决实际咨询题中的作用；〔2〕结构图①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整理收集到的资料信息；②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物联系中的作用。

二．命题走向常用逻辑用语本部分内容要紧是常用的逻辑用语，包括命题与量词，差不多逻辑联结词以及充分条件、必要条件与命题的四种形式。

推测07年高考对本部分内容的考查形式如下：考查的形式以选择、填空题为主，考察的重点是条件和复合命题真值的判定。

推理证明本部分内容要紧包括：合情推理和演绎推理、直截了当证明与间接证明、数学归纳法〔理科〕等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的进展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及到，该部分命题的方向要紧会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小；估量2007年高考将会有较多题目用到推理证明的方法。

复数复数部分考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一样是选择题、填空题，难度不大，估量今后的高考还会保持那个趋势。

推测2007年高考对本讲的试题难度可不能太大，重视对差不多咨询题诸如：复数的四那么运算的考查，题目多以选择、填空为主。

框图本部分是新课标新增内容，历年高考中涉及内容专门少，估量2007年高考中可能在选择题、填空题中以考察流程图和结构图的定义和特点的形式显现；也可能以画某种知识的结构图或解决某类咨询题的流程图为形式的解答题显现，但不论哪种形式，所占份量都可不能专门大。

三．要点精讲1．常用逻辑用语〔1〕命题命题：能够判定真假的语句叫命题；逻辑联结词：〝或〞〝且〞〝非〞这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题。

复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题。

常用小写的拉丁字母p，q，r，s，……表示命题，故复合命题有三种形式：p或q；p且q；非p。

〔2〕复合命题的真值〝非p〞形式复合命题的真假能够用下表表示：〝p且q〝p且q〞形式复合命题的真假能够用下表表示：注：1〝非p〞形式复合命题的真假与p的真假相反；〝p且q〞形式复合命题当p与q同为真时为真，其他情形为假；〝p或q〞形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情形为真；3°真值表是依照简单命题的真假，判定由这些简单命题构成的复合命题的真假，而不涉及简单命题的具体内容。

〔3〕四种命题假如第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题；假如一个命题的条件和结论分不是原命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题，那个命题叫做原命题的否命题；假如一个命题的条件和结论分不是原命题的结论和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题，那个命题叫做原命题的逆否命题。

两个互为逆否命题的真假是相同的，即两个互为逆否命题是等价命题.假设判定一个命题的真假较困难时，可转化为判定其逆否命题的真假。

〔4〕条件一样地，假如p⇒q，那么就讲：p是q的充分条件；q是p的必要条件。

可分为四类：〔1〕充分不必要条件，即p⇒q,而q⇒p；(2)必要不充分条件，即p⇒q,而q⇒p；(3)既充分又必要条件，即p⇒q，又有q⇒p；(4)既不充分也不必要条件，即p⇒q，又有q⇒p。

一样地，假如既有p⇒q，又有q⇒p，就记作：p⇔q.〝⇔〞叫做等价符号。

p⇔q表示p⇒q且q⇒p。

这时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，那么p是q的充分必要条件，简称充要条件。

〔5〕全称命题与特称命题那个地点，短语〝所有〞在陈述中表示所述事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号∀表示。

含有全体量词的命题，叫做全称命题。

短语〝有一个〞或〝有些〞或〝至少有一个〞在陈述中表示所述事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

2．推理与证明〔1〕合情推理依照一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理，叫做归纳推理〔简称归纳〕。

归纳是从专门到一样的过程，它属于合情推理；依照两类不同事物之间具有某些类似〔或一致〕性，估量其中一类事物具有与另一类事物类似〔或相同〕的性质的推理，叫做类比推理〔简称类比〕。

类比推理的一样步骤：〔1〕找出两类事物之间的相似性或一致性；〔2〕用一类事物的性质去估量另一类事物的性质，得出一个明确的命题〔猜想〕；〔3〕一样地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。

假如两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是确实；〔4〕在一样情形下，假如类比的相似性越多，相似的性质与估量的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。

〔2〕演绎推理分析上述推理过程，能够看出，推理的灭每一个步骤差不多上依照一样性命题〔如〝全等三角形〞〕推出专门性命题的过程，这类依照一样性的真命题〔或逻辑规那么〕导出专门性命题为确实推理，叫做演绎推理。

演绎推理的特点是：当前提为真时，结论必定为真。

〔3〕证明反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直截了当证明，而是先去证明A的反面〔非A〕是错误的，从而确信A是正确的即反证法确实是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到确信命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法。

反证法的步骤：1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2)从那个假设动身，通过推理论证，得出矛盾；3)由矛盾判定假设不正确，从而确信命题的结论正确。

注意：可能显现矛盾四种情形：①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论。

分析法：证明不等式时，有时能够从求证的不等式动身，分析使那个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的咨询题，假如能够确信这些条件都已具备，那么就能够确信原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。

用分析法证明不等式的逻辑关系是：分析法的思维特点是：执果索因；分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有……，这只需要证明命题为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而A为真，故命题B必为真。

综合法：利用某些差不多证明过的不等式〔例如算术平均数与几何平均数定理〕和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法，用综合法证明不等式的逻辑关系是：综合法的思维特点是：由因导果，即由条件动身，利用的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

3．数系的扩充与复数的引入的数，我们把它们叫做复数，全体复数所形成的集合叫做复数集，形如a+bi(a,b)R一样用字母C表示，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部。

复数的加法法那么：〔a+bi〕+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；复数的加法法那么：〔a+bi〕－(c+di)=(a －c)+(b －d)i ；复数的乘法法那么：〔a+bi 〕〔c+di 〕=(ac －bd)+(ad+bc)i ；复数的除法法那么：(a+bi)÷(c+di)=di c bi a ++=))(())((di c di c di c bi a -+-+=22)()(dc i ad bc bd ac +-++ =22d c bd ac +++i dc ad bc 22+-； 4．框图〔1〕结构图第一，你要对所画结构图的每一部分有一个深刻的明白得和透彻的把握，从头止尾抓住要紧脉络进行分解，然后将每一步分解进行归纳与提炼，形成一个个知识点并将其逐一地写在矩形框内。

最后，按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连，如此就画成了知识结构图。

认识结构图：由构成系统的假设干要素和表达各要素之间关系的连线构成。

绘制结构图的步骤：1〕先确定组成系统的差不多要素，以及这些要素之间的关系；2〕处理好〝上位〞与〝下位〞的关系；〝下位〞要素比〝上位〞要素更为具体， 〝上位〞要素比〝下位〞要素更为抽象。

3〕再逐步细化各层要素；4〕画出结构图，表示整个系统。

〔2〕流程图绘制流程图的一样过程：第一，用自然语言描述流程步骤；其次，分析每一步骤是否能够直截了当表达，或需要借助于逻辑结构来表达；再次，分析各步骤之间的关系；最后，画出流程图表示整个流程。

鉴于用自然语言描述算法所显现的种种弊端，人们开始用流程图来表示算法，这种描述方法既幸免了自然语言描述算法的拖沓冗长，又排除了起义性，且能清晰准确地表述该算法的每一步骤，因而深受欢迎。