1 εij = (ui, j +uj,i ) 2
σji, j
(i, j =12,3) ,
E 1 ν = 2(uj,ij +ui, jj ) +1−2νuk,kjδij (1+ν)
5Байду номын сангаас
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题1-3
E 1 ν (uj,ij +ui,jj ) + σji, j = uk,ki 2 (1+ν) 1−2ν
3
2c
l
y
解： 1、将 Φ 代入
∇ 4Φ =0 满足, 为应力函数。 满足, Φ 为应力函数。
2、求应力（无体力） 求应力（无体力）
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题1-13 3 3F xy q 2 Φ= xy− 2 + y 4c 3 2 c
2
o
x
2c
l
y
2
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
z l y
F = −ρg bz
x
x
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8
题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 等截面直杆（无体力作用），杆轴 ）， 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u =−kyz v =kxz
w=k ( x, y) ψ
为待定常数， 其中 k 为待定常数，ψ(x‚y)为待定函数， 为待定函数 试写出应力分量的表达式和位移法方程。 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2
在 y= -c 边界：l1= 0 , l2 = -1 边界： 边界： 在 y= c 边界： l1= 0 , l2 = 1
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X =0,Y =0 X =0,Y =0
22
o
x
题1-13
2
2c
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
2
l
y
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
ρg
b
o
x
2
位移解为
ρg(1−ν ) y( y −b) u =0,v = 2E
18
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题1-12 试证明，如果体力虽然不是常量， 试证明，如果体力虽然不是常量， 但却是有势力， 但却是有势力，即
∂V X =− , ∂x ∂V Y =− ∂y
其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应 势函数， 力函数表示为
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9
题1-6 半空间体在自重 ρg 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0, 作用下的位移解为
1 ρg 2 2 w= q(h−z) + h −z 2 λ +2G
(
)
试求 σx/σz (应力比). 应力比).
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10
o
450
l
y
h
σx=ax、σy=a(2x+y-l-h)、τxy= -ax =a(2x+y在 x=0 边界： 边界： l1= -1 , l2 = 0
x
σx= 0、τxy= 0
在 y=l 边界： 边界：
X =0,Y =0
l1= 0 , l2 = 1
σy=a(2x-h)、τxy= =a(2xax
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2
在 x = l 边界：l1= 1 , l2 = 0 边界： 3Fly 3F y2 X = q− 3 , Y = − 1− 2 2c 4c c
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题1-13 在 x = l 边界：l = 1 , l = 0 边界： 1 2
3Fly X = q− 3 , 2c
ν E σij = ( εij + eδij ) (1+ν) 1−2ν
4
题1-3
E ν σij = ( εij + eδij ) (1+ν) 1−2ν
e =εkk
(i, j =12,3) ,
(i, j =12,3) ,
σji, j
而 则
E ν = ( εji, j + εkk, jδij ) (1+ν) 1−2ν
弹塑性力学部分习题解答
第一部分 静力法内容
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1
题 1-1 将下面各式展开
（ 1） . （ 2） . （ 3） .
1 εij = (ui, j +uj,i ) (i, j =1,2,3) 2 1 U0 = σijεij (i, j =12,3 , ) 2
F = ni G(ui, j +uj,i ) +δijλe i
∂φ ∂φ ∂φ σx = 2 +V,σy = 2 +V,τxy = − ∂y ∂x ∂x∂y
2 2 2
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题1-13 试分析下列应力函数能解决什么 问题？设无体力作用。 问题？设无体力作用。
o x
3F xy q 2 Φ= xy− 2 + y 4c 3 2 c
2
3、求边界力
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题1-13
2
o
x
2c
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
2
l
y
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
O
题1-7 图示梯形截面墙体完 h A 全置于水中，设水的密度为ρ 全置于水中，设水的密度为ρ， C 试写出墙体各边的边界条件。 试写出墙体各边的边界条件。
h B
x
α
D
y
题1-8 图示薄板两端受均匀拉力作用，试 图示薄板两端受均匀拉力作用， 点和O点的应力值。 确定边界上 A点和O点的应力值。
o A q
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在上 V
3
题1-3
2
利用指标符号推导位移法基本方程
G ui +(λ+G)uj, ji +F =0 ∇ bi
在上 V
解：位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程
σ ji, j +F =0 bi
e =εkk
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(i, j =12,3) ,
(i, j =12,3) ,
2
l 在 x = 0 边界： 1= -1 , l2 = 0 边界：
3F y X =−q,Y = 1− 2 4c c
2
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∫ Ydy = F
−c
23
c
o
x
题1-13
2
2c
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
2
l
y
∂φ 3F xy ∂φ σx = 2 = − 3 +q, σy = 2 =0, ∂y 2c ∂x y2 ∂φ 3F τxy =− = − 1− 2 ∂x∂y 4c c
=(λ+G)uj, ji +G i, jj u
代入 得
2
σ ji, j +F =0 bi
(i, j =12,3) ,
在上 V
7
G ui +(λ+G)uj, ji +F =0 ∇ bi
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题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为 等截面柱体在自重作用下， 试求位移。 σx=σy=τxy=τyz=τzx=0 , σz=ρgz，试求位移。
y2 3F Y = − 1− 2 4c c
q q
F
y o x
∫ Xdy =2qc
−c c
c
∫ Ydy =−F
−c
c
Fl l F
∫
−c
Xydy =−F l
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25
题1-14 图示无限大楔形体受水平的常体 作用, 积力 q 作用,设应力函数为
φ = ax +bx y + cxy + ey
y
l h h
2E
E
式中 E、ν 为弹性模量和泊松系数。 为弹性模量和泊松系数。 试（1）求应力分量和体积力分量； ）求应力分量和体积力分量； （2）确定各边界上的面力。 ）确定各边界上的面力。
x
解： 1、求应变 ∂u ρg ∂v ρgν εx = = (l −x), εy = = − (l −x ) ∂x E ∂y E
解： 1、求体积力
o
450
l
y
h
x
F = −a, F = 0 bx by
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∂σx ∂τyx + +F =0 bx ∂x ∂y ∂τxy ∂σy + +F =0 by ∂x ∂y
12
题1-9
2、求边界力
l1σx +l2τyx = X l1τxy +l2σy =Y
3 2 2
o
α
3
y
试（1）列出求解的待定 系数的方程式，（ ，（2 系数的方程式，（2）写 出应力分量表达式。 出应力分量表达式。 解： 1、将 Φ 代入