e kk
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4
题1-3
e kk
ij (1 E )( ij 1 2 e ij) (i,j 1 ,2 ,3 )
j,i j (1 E )( j,i j 1 2 k,jk ij ) (i,j 1 ,2 ,3 )
i1 2ui,j
j
Guj,jiGi,ju j
代入 j,ij F b i0 (i,j 1 ,2 ,3 )
得
G 2 u i G u j,j iF b i0在 V 上
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7
题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
，且设 ur 表达式为
ur C1rC r2(18 E 2)2r3
b
ra
x
试由边界条件确定 C1 和 C2 。
y
解： 边界条件为： (r）r=a=0, (r）r=b=0
应力r（平面
应力问题）：
r 1E2(ddrururr)
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32
题1-16 由边界条件确定 C1 和 C2 ：
v g l x y E
y
l
式中 E、 为弹性模量和泊松系数。
试（1）求应力分量和体积力分量；
hh
（2）确定各边界上的面力。
x
解： 1、求应变
x u x E g l x , y y v E g (l x )
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15
x
x=ax、y=ax、xy= -ax
3、求应变
x=ax、y=a(2x+y-l-h)、 xy= -ax
可得应变表达式。
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X0,Y0
x

1 E
( x
y)
y

1 E
( y
x)
xy

1 G
xy
14
题1-10 图示矩形薄板，厚度为单位1。
已知O 其位u 移 2 分E g 量 2 表lx 达( x 2 式 为y 2) ,
y2 c2

3、求边界力
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21
ox
题1-13
l
2c l1x l2yx X l1xy l2y Y
x

2 y2
y
32Fc3xyq,
y

2 x2
0,
xy
2 xy
34Fc 1
y2 c2

在 y= -c 边界：l1= 0 , l2 = -1 在 y= c 边界： l1= 0 , l2 = 1
X0,Y0 X0,Y0
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22
ox
题1-13
2c
l1x l2yx X
l
l1xy l2y Y
y
x

2 y2
32Fc3xyq,
y

2 x2
0,
xy
2 xy
34Fc 1
y2 c2

在 x = 0 边界：l1= -1 , l2 = 0
c
Xdy2qc c
c
YdyF c
q
ox
F
c
l
XydyFl c
y
q
Fl
F
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25
题1-14 图示无限大楔形体受水平的常体 积力 q 作用,设应力函数为
a3xb2 xycx2 ye3 y
试（1）列出求解的待定 系数的方程式，（2）写
o

y
q
出应力分量表达式。
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3
题1-3 利用指标符号推导位移法基本方程
G 2 u i G u j,j iF b i0在 V 上
解：位移法基本方程为用位移表示的平衡微分方程
j,ij F b i0 (i,j 1 ,2 ,3 )
ij (1 E )( ij 1 2 e ij) (i,j 1 ,2 ,3 )

qy ,
xy


2 xy

2bx 2cy
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27
o
题1-14

y
q
3、由边界条件确定待定系数
x
在 y= 0 边界： l1= 0 , l2 = -1 X0,Y0
xy 2 b x 0 , y 6 a x 0 ,
a = 0、b = 0
x y22 2cx6ey, y x22Fbyy6ax2byq,y
x
y
其中 V 是势函数，则应力分量亦可用应
力函数表示为
x y 22V,y x 22V,xy x2 y
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19
题1-13 试分析下列应力函数能解决什么
问题？设无体力作用。
ox
2c
34Fcxy3xcy23q2y2 y
x y22 2cx6ey, y x22Fbyy6ax2byq,y
2 xyxy2bx2cy
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29
题1-14
cqcosqctg 2si n 2
o

y
q
x
e q ctg2 3
应力分量表达式
x qxctg2qyc2tg,
C 13 8 E 1 2 a2b2
y qy, xyqyctg
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题1-15 设弹性力学平面问题的体积力为 零，且设
（1） P sin , （2） Prsin,
r
试（1）检验该函数是否可以作为应力 函数；（2）如果能作为应力函数，求 应力分量的表达式。
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31
题1-16 圆环匀速（）转动，圆盘密度为
y2 c2

在 x = l 边界：l1= 1 , l2 = 0
X

q

3Fly 2c3 ,
Y

3F 4c
1
y2 c2

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24
题1-13 在 x = l 边界：l1= 1 , l2 = 0

X q32Fc3ly,
Y

3F 4c
1
y2 c2

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题1-11 设有一无限长的薄板，上下两端固 定，仅受竖向重力作用。求其位移解答。
设： u = 0、 v = v(y) y
g
b
o
x
位移解为 u0,vg(12)yyb
2E
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题1-12 试证明，如果体力虽然不是常量， 但却是有势力，即
XV, YV
e 为体积应变
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2
题1-2 证明下面各式成立， （1）. eijk ai aj = 0
（2）.若 ij = ji , ij = - j i , 则 ij ij = 0
题1-3 利用指标符号推导位移法基本方程
G 2 u i G u j,j iF b i0在 V 上
注意哑标可换标
j,ij(1 E ) 1 2uj,ij u i,jj 1 2 uj,j i
j,ij (1 E) 21 12uj,ji1 2ui,jj
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6
题1-3
j,ij
(1 E) 21 12uj,j
而 ij1 2(ui,juj,i) (i,j1,2,3)
则 j,ij (1 E ) 1 2u j,ij u i,jj 1 2 u k,k ji j
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5
题1-3 j,ij(1 E ) 1 2uj,ij u i,jj 1 2 u k,k i
Xq,Y34Fc1cy22
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c
Ydy F c 23
ox
题1-13
2c
l1x l2yx X
l
l1xy l2y Y
y
x

2 y2
32Fc3xyq,
y

2 x2
0,
xy
2 xy
34Fc 1
q 作用下的位移解为 u = v = 0,
w 12G qhz2 gh2z2
试求 x/z (应力比).
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10
O
题1-7 图示梯形截面墙体完 h h 全置于水中，设水的密度为， A
B

x
试写出墙体各边的边界条件。 C y D
题1-8 图示薄板两端受均匀拉力作用，试 确定边界上 A点和O点的应力值。
弹塑性力学部分习题解答
第一部分 静力法内容
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题 1-1 将下面各式展开
（1）. 1 2 ij (ui,juj,i) (i,j1,2,3) （2）. U01 2ij ij (i,j1,2,3)
（3）. F i n iG u i,j u j,i i j e
2 xyxy2bx2cy
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题1-14
在 y= xtg 边界：l1= cos(900+ )= -sin , l2 = cos
o
X0,Y0

y
q
(2c x6e)y (si n )2cy co s0
x
2cy (si n )qy co s0
y)

y

E 1
2
(
x

y)
xy G xy
16