动生电动势公式的推导及产生的机理
摘要：在本文中，应用导数的知识推导出动生电动势在各种特殊情况下的表达形式，并进一步探究了动生电动势产生的机理。
揭示了产生动生电动势的实质是运动电荷在磁场中受到洛伦磁力的结果。
关键词：电磁感应定律；动生电动势；洛伦磁力
法拉第电磁感应定律告诉我们，只要通过回路所围面积中的磁通
量发生变化，回路中就会产生感应电动势。
由公式
s B dS
φ=⎰⎰可知，使磁通量发生变化的方法是多种多样的，但从本质上讲，可归纳为两类：一类是磁场保持不变，导体回路或导体在磁场中的运动；另一类是导体回路不动，磁场发生变化。
前者产生的感应电动势称为动生电动势，后者产生的电动势为感生电动势。
在本文中，主要对动生电动势公式的推导及其产生的机理作浅显的阐释。
一、动生电动势在各种特殊情况下的表达形式
在磁场保持不变的情况下，由于导体回路或导体运动而产生的感应电动势称为动生电动势
（一）、在磁场中运动的导线内的动生电动势
例1，如图1所示，一个由导线做成的回路ABCDA，其中长度为l
的导线段AB在磁感应强度为B的匀强磁场中以速度V向右作匀速直线运动，AB、V和B 三者相互垂直，求运动导线AB
段上产生的动生电动
势。
解析：由题意可知，导线AB 、V 和B 三者相互垂直。
若在dt 时间内，导线AB 移动的距离为dx ，如右图所示，则在这段时间内回路面积的增量为dS ldx =。
如果选取回路面积矢量的方向垂直纸面向里，则通过回路所围面积磁通量的增量为：
d ΦB S Bldx ==
根据法拉第电磁感应定律知，导线AB 内所产生的感应电动势为[1]
d Φε dt
=- 其中，负号代表感应电动势的方向。
所以，在运动导线AB 段上产生的动生电动势的表达式为
dx εBlv dt
Bl =-=-
即运动导线AB 段上产生的动生电动势的
大小为：Blv ，方向：B A →.
例2、如图2所示，在方向垂直纸面向
内的均匀磁场 B 中，一长为 l 的导体棒
OA 绕其一端 O 点为轴，以角速度大小
为ω逆时针转动，求导体棒OA 上所产生
的动生电动势。
解析：设导体棒OA 在t ∆时间内所转过的角度为θ∆，所扫过的扇形面积为：
212
S l θ=∆
则在这段时间内磁通量的增量为
212
ΦB S Bl θ==∆∆ 根据法拉第电磁感应定律知，导体OA 内所产生的感应电动势为
2d Φε 2t 1d Bl ω=-=- 即导体OA 段上产生的动生电动势的大小为：212
Bl ω，方向：A O →
（二）、在磁场中转动的线圈内的动生电动势
例3、（2012年安徽高考题）图3是交流发电机模型示意图。
在磁感应强度为B 的匀强磁场中，有一矩形线圈abcd 可绕线圈平面内垂直于磁感线的OO ˝轴转动，由线圈引起的导线ae 和df 分别与两个跟线圈一起绕OO ˝转动的金属圈环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻R 形成闭合电路。
图4是线圈的主视图，导线ab 和cd 分别用它们的横截面来表示。
已知ab 长度为
L1，bc 长度为L2，线圈以恒定角速度ω逆时针转动。
（考虑N 匝线圈）
（1）线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导t 时刻整个线圈中的感应电动势e 1 的表达式；
（2）线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，如图5所示，
试写出t 时刻整个线圈中的感应电动势e 2的表达式
解析：（1）如图4所示，线圈平面处于中性面位置时开始计时，在t 时刻，线圈平面与磁场方向的夹角为ωt ，此时穿过线圈的磁通量为
12ΦBScos ωt BL L cos ωt ==
根据法拉第电磁感应定律知，N 匝线圈所产生的感应电动势为
d Φε dt
N =- 其中，负号代表感应电动势的方向。
所以，此时整个线圈的感应电动势的表达式为
112e BL L ωsin ωt N =
(2)如图5所示，线圈平面处于与中性面成φ0夹角位置时开始计时，在t 时刻，线圈平面与磁场方向的夹角为()0ωt ϕ+，此时穿过线圈的磁通量为
()()0120ΦBScos ωt BL L cos ωt ϕϕ=+=+
根据法拉第电磁感应定律知，此时线圈的感应电动势的表达式为
()2120e BL L ωsin ωt N ϕ=+
二、 动生电动势产生的机理
运动导体或转动线圈在磁场中切割磁感应线而产生的动生电动势的机理，可以用经典的金属电子理论来解释。
在阐释动生电动势产生的机理之前，笔者先给出与产生机理有关的几个物理概念。
（一）、非静电力和非静电性场强的概念
1、非静电力的定义
能不断分离正负电荷，使正电荷逆静电场方向运动的某种力称作非静电力。
2、非静电性场强的定义
单位正电荷所受到的非静电力称作非静电性场强，用k E 表示。
（二）、电动势的概念
把单位正电荷从负极通过电源的内部移到正极时非静电力所做的功，即
k F dl E dl q ε++
--
==⎰⎰（F 为非静电力） （三）、动生电动势产生的机理
如图6所示，矩形线圈ABCD 放在均匀磁场
中，其中CD 段可以沿AD 方向运动，并令CD
段以速率V 向右作匀速直线运动，于是在导线
CD 中产生动生电动势，并认为动生电动势ε是
由于导线CD 中的电子随导体一起向右运动时,受到一个向下的洛伦兹力f 在导线中供一个非静电力产生的，即非静电力(洛伦兹力) f ev B =-⨯
上式中，电子所带的电量为：e -，洛伦磁力的方向是：D C →
洛伦兹力f 可以看作等效于一个非静电性场强k E 对电子的作用，即
k eE ev B -=-⨯
由此，可以求得非静电性场强为k E v B =⨯。
根据电动势的定义知， 导体棒CD 在磁场中切割磁感应线产生的动生电动势为
()D D k C C E dl v B dl Blv
ε==⨯=⎰⎰
这个结果与例1中完全相同，这表明了产生动生电动势的实质是运动电荷在磁场中受到洛伦磁力的结果。
将上式的结论可以推广到普通情况，如图7所示，一段任意形状的导线在磁场中运动，同理，所对应的
非静电性场强为
()-k F E v v B e '==+⨯合
()D D
k C C
E dl v v B dl
ε'==+⨯⎰⎰ ()()
D D C C
v B dl v B dl '=⨯+⨯⎰⎰
()
D C v B dl =⨯⎰
可见，在一般情况下动生电动势的计算公式和特例下动生电动势的计算公式是一致的。
只与导线的整体运动速度v 有关，而与电子沿导线方向运动速度v '无关。
综上所述，产生动生电动势的实质是运动电荷在磁场中受到洛伦磁力的结果，动生电动势计算通式为()l v B dl ε=
⨯⎰。
参考文献
[1] 程守洙, 江之永.普通物理学2[M]. 第五版. 北京：高等教育出版社, 1997:330.。