V
r r r r r r ′)∇′2G(x′, x) − G(x′, x)∇′2ψ(x′) dτ ′ ψ(x
S
r v ˆ 其中 ds是从区域V内指向外部的面元，如果设n 是 是从区域 内指向外部的面元， 内指向外部的面元 指向区域V内的法线 内的法线， 指向区域 内的法线，则
r v ˆ ds′ = −nds′
∫{
[
]
[
]}
∫∫
展开后， 展开后，等式左边为
∫
V
r r r r −ψ(x′)4 δ (x − x′)dτ ′ = −4 ψ (x) π π
所以
r r r r r r r 1 r r ψ(x) = − ∫∫ G(x′.x)∇′ψ(x′) −ψ(x′)−ikG(x′.x) 4 S π r r r r r r v ˆ +G(x′.x) 2 ⋅ nds r r ikr r r 1 e r ˆ ⋅ ∇ψ(x′) +(ik − 1) r ψ(x′)ds′ = − ∫∫ n ′ 4 S r r r π
§5.6 电磁波的干涉和衍射
Interference and Diffraction Phenomenon of Electromagnetic一、 本节所要研讨的是如下两个问题：第一、由 Maxwell’s equations 的线性条件知道，电磁场服 的线性条件知道， 从叠加原理，这就是说， 从叠加原理，这就是说，当空间有两列以上电磁 波同时存在时，空间各点的总场强等于这些电磁 波同时存在时， 波的场强矢量和。讨论叠加现象属于电磁波的干 波的场强矢量和。讨论叠加现象属于电磁波的干 涉(Interference)问题；第二、电磁波在传播过程 (Interference)问题 第二、 问题； 中，会绕过障碍物而继续传播，这种现象属于电 会绕过障碍物而继续传播， 衍射(diffraction)问题。 问题 磁波的衍射 磁波的衍射(diffraction)问题。
因为
r r eikr 1 ikr ikr 1 ′ ′ ′ ′ ∇G(x′.x) = ∇ = ∇e +e ∇ r r r r r r r = −ikG +G 2 r r
将此代入格林公式中， 将此代入格林公式中，得
r r r r r rr r 2 2 ψ(x′) − k G(x′, x) − 4π (x − x′) − G(x′.x) − k ψ(x′) dτ ′ δ V r r r r r r r r r r r r r ˆ = G(x′, x)∇′ψ(x′) −ψ(x′)− ikG x′, x) + G(x′.x) ⋅ nds′ ( r r S
这就是基尔霍夫公式。 这就是基尔霍夫公式。 基尔霍夫公式 讨论： 讨论： r r 公式把区域V内任一点 ① 公式把区域 内任一点 x处的场ψ(x) 用V r r ′ 的边界面S上的ψ(x′) 和 ∂ψ(x ) 表示出来，是惠更 的边界面 上的 表示出来， 斯原理的数学表示。 斯原理的数学表示。 ikr∂n
b)它们的频率必须相同。 b)它们的频率必须相同 它们的频率必须相同。 c)两列波的光程差不能太大。 c)两列波的光程差不能太大 两列波的光程差不能太大。 d)两列波的振幅不能悬殊太大。 两列波的振幅不能悬殊太大。 两列波的振幅不能悬殊太大 上述四个干涉条件，在物理光学中叫做相干 上述四个干涉条件，在物理光学中叫做相干 条件（ 条件（Condition of coherence)。 。
式中 r = (x − x′) + (y − y′) + (x − z′)
2 2
[
2 12
]
由于
eikr 2 2 ∇ G=∇ r 1 2 ikr 1 ikr ikr 2 1 = ∇ e +2(∇ )⋅ (∇ ) +e ∇ e r r r
而
1 2 ikr 1 ∇ e +2(∇ )⋅ (∇ ikr ) e r r r r 1 d 2 d ikr r ikr r = 3 (r e ) −2( 3 )⋅ (ike ) dr r r dr r eikr = −k2 = −k2G r
e r向 表示曲面S上的点 ② 公式中的因子 表示曲面 上的点 x′ r r r r V内x 点传播的波。波源的强度由 x′ 内 点传播的波。 点上的 ψ(x′)
次级光源发射的波的叠加。 次级光源发射的波的叠加。
r 值确定。因此， 和 ∂ψ(x′) 值确定。因此，曲面上每一点可以看作 ∂n
公式不是边值问题的解， ③ 公式不是边值问题的解，它仅是把 ψ 用 边值表示出的积分表达式。 边值表示出的积分表达式。 e) 矩形孔的夫琅和费衍射 夫琅和费衍射(Fraunhofer’s diffraction)指的 夫琅和费衍射 指的 一平行光线入射到矩形孔上，发生衍射， 是：一平行光线入射到矩形孔上，发生衍射，根 据实际情况，设矩形孔的边长为2a和 ， 据实际情况，设矩形孔的边长为 和2b，除矩形 孔外，其它部分不透光。 孔外，其它部分不透光。
1、电磁波的干涉现象
(Interference phenomenon of electromagnetic wave) 设空间有两列电磁波，它们具有相同的振幅 设空间有两列电磁波， 它们具有相同的振幅 包括方向）和相同的频率，分别由S （ 包括方向 ） 和相同的频率 ， 分别由 1、S2两点 同时发出， 同时发出，则在 t 时刻它们在 p点的电场强度分 点的电场强度分 p 别为： 别为：
a) 亥姆霍兹方程(Helmholtz’s equation) 亥姆霍兹方程(Helmholtz’s r r 在无源空间中， 在无源空间中，电磁场 E B满足的方程为 和 r 2 r 1∂E 2 ∇ E− 2 2 = 0 υ ∂t r 2 r 1∂B 2 ∇ B− 2 2 = 0 υ ∂t 对于势函数，单频 2 2 的电磁波满足： ∇ψ + k ψ = 0
ψ(x′) =ψ0e
r
ψ 其中： 的值。 其中： 0 为原点处ψ(x′)的值。
r r r ik′⋅x′ r r r ′ ∇ψ(x′) = ik1 0e 1 = ik1 (x′) ψ ψ
振幅最小为0 这说明： ∆ = (2n+1 λ / 2时，振幅最小为0，这说明：叠加 )
的结果电场强度的振幅在空间一些地方加强了， 的结果电场强度的振幅在空间一些地方加强了，另 一些地方减弱了这种现象叫做干涉 干涉( 一些地方减弱了这种现象叫做干涉(Interfereuce)。 当光程差为半光波长的偶数倍时， b) 当光程差为半光波长的偶数倍时，合成波 振幅最大；当光程差为半波长的奇数倍时， 振幅最大；当光程差为半波长的奇数倍时，合成波 振幅为0 这可以解释物理光学中的干涉现象， 振幅为0。这可以解释物理光学中的干涉现象，也 足以说明电磁波包含了一定频段范围的光波。 足以说明电磁波包含了一定频段范围的光波。
k =ω /v −iω t ψ(x, y, z,t) =φ(x, y, z)e
b) 格林函数（Green’s function) 格林函数（ rr 和静电场情形一样， 和静电场情形一样，设 G(x, x′) 是亥姆霍兹 方程相应的格林函数： 方程相应的格林函数：
rr eikr G(x, x′) = G(x, y, z; x′, y′, z′) = r
r x′
r
r R
o
r k1
r k2
观察点 r r x =R
因此，基尔霍夫公式中对闭合面的积分， 因此，基尔霍夫公式中对闭合面的积分，只对矩 形孔积分： 形孔积分： r ikr r 1 e r ˆ ⋅ ∇′ψ +(ik − 1) r ψds′ ψ(x) = − ∫∫ n 4 孔 r r r π r 假设在孔面上，入射波是平面波， 假设在孔面上，入射波是平面波，波矢量为k1′ ， r r 即 r ′ ik1⋅x′
3、电磁波的衍射
当电磁波在传播过程中遇到障碍物或者透过 屏幕上的小孔时， 屏幕上的小孔时，会导致偏离原来入射方向的出 射电磁波，这种现象称为衍射现象 衍射现象（ 射电磁波，这种现象称为衍射现象（diffraction phenomenon）。衍射现象的研究对于光学和无 ） 线电波的传播都是很重要的。 线电波的传播都是很重要的。
上式成为： 上式成为：
] ∫[ r r r r r r r ˆ = ∫∫[G(x′, x)∇′ψ(x′) −ψ(x′)∇′G(x′, x)] ⋅ nds′
V
r r r r r 2 r 2 ψ(x′)∇′ G(x′, x) − G(x′, x)∇′ ψ(x′) dτ ′
S
这就是格林公式。 这就是格林公式。 格林公式 d) 基尔霍夫公式(Kirchhoff’s formuls) 基尔霍夫公式(Kirchhoff’s r 把格林公式中的函数 ψ(x′) ，看作是我们要 寻找的、描述电磁场的、 寻找的、描述电磁场的、满足亥姆霍兹方程的标 r ψ(x) ，把G看成是已知的，是满足 看成是已知的， 量函数 看成是已知的 r r 2 2 ∇ G+k G = −4 (x − x′) 的格林函数。 πδ 的格林函数。
r r ∇ G+k G = −4 (x − x′) πδ
2 2
c) 格林公式(Green’s formula) 格林公式(Green’s 代入到格林公式中， 把G和 ψ 代入到格林公式中，并以带撇号表 和 示积分变量， 示积分变量，则有
] ∫[ r r r r r r v ′)∇′G(x′, x) − G(x′, x)∇′ψ(x′)] ⋅ ds = ∫∫[ (x ψ
又因为
1 1 d 2 d 1 0 ∇ = 2 (r ) = r r dr dr r ∞
2
当 ≠0 r 当 =0 r
且
1 1 1 v ∇ dτ = ∇⋅ ∇ dτ = ∇ ⋅ ds r r r V V S r r v =− ⋅ ds = − dΩ= −4 π 3 r S S