一. 填空（每题3分，共30分）
1． i3＝

2． 0z＝0是函数51cos)(zzzf的
（说出类型，如果是极点，则要说明阶数）
3. iyxyyixxzf322333)(,则()fz＝

4. ]0,sin1[Rezzs
5. 函数sinwz在4z处的转动角为

6. 幂级数0)(cosnnzin的收敛半径为R=____________
7. dzzz10sin
8．设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线，则dzzeCz21
9．
函数14zzzf在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________

10． 23||22)4)(1(zzzdz
二．判断题（每题3分，共30分）
1．nzzzf)(在0z解析。【 】
2．)(zf在0z点可微，则)(zf在0z解析。【 】
3．zezf)(是周期函数。【 】
4． 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】

5． 设级数0nnc收敛，而||0nnc发散，则0nnnzc的收敛半径为1。【 】

6． 1tan()z能在圆环域)0(||0RRz展开成洛朗级数。【 】
7． n为大于1的正整数, LnLnnznz成立。【 】
8．如果函数)(zf在0z解析，那末映射)(zf在0z具有保角性。【 】

9．如果u是D内的调和函数,则yuixuf是D内的解析函数。【 】
10．212233||||221112|2(1)1zzzzdzdziizzzz。【 】
三．（8分）yevpxsin为调和函数，求p的值，并求出解析函数ivuzf)(。
四．（8分） 求)2)(1(zzzzf在圆环域21z和21z内的洛朗展开式。
五．（8分）计算积分dxxxx54cos22。
六．（8分）设Cdzzf173)(2，其中C为圆周3||z的正向，求(1)fi。
七．（8分）求将带形区域})Im(0|{azz映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)

1.3ln2ike； 2. 三级极点 ；3. 23z ；4. 0 ；5. 0 ；6. e1 ；7. 322)1(26ss ；8. 0；

9. 0 ；10. )]2()2()2(1)2(1[21jj。
二.判断1.错；2.错；3.正确； 4. 错 ；5.正确 ；6.错； 7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。
三(8分) 解: 1)在2||1z
11000111111()()(()())()21222nnnnnnnnzzfzzzzzzzz










-----4分

2) 在1|2|z

20111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2nnnfzzzzzzzz









--4

分
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面
有一个一级极点 -2+i, 故

]2,54[Re25422izzesidxxxeizix







--------3分

)2sin2(cos54))2((lim222iezzeiziiziz




--------6分

故 2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix ---------8分
五.(8分) 解: 22371()()Cfzdz -------3分
由于1+i在3||z所围的圆域内, 故
iCidiif1
2
2

2
|)173(2))1((173)1(






)136(2i

-------8分

六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到








zazaie

e

ezf)(
(映射不唯一,写出任何一个都算对)

七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:
13)(3))0()(()0()0()(`2s
sYyssYysysYs

代入初始条件,得32113)(2ssssY --------4分
)1)(3(1)1)(3)(1(3sssss
381185143sss

故, ttteeety3818543)( ---------8分(用留数做也可以)
复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)1.3ln2ike ；2. 三级极点 ；3. 23z； 4. 0 ；5. 0 ；6. e1 ；7.
1cos1sin
；8. 0 ；9. 0 ； 10. 0。

二.判断1.错；2.错；3.正确 ；4. 错 ；5.正确 ；6.错 ；7.错 ；8. 错 ；9. 正确 ；10. 错 。
三.(8分) 解:因为yevpxsin是调和函数,则有

02222
yvx

v
,即 0sin)1(sinsin22yepyeyeppxpxpx 故1p---------2分

1) 当 1p时, yevxsin, 由C-R方程,
yeyvxuxcos



, 则)(cos),(ygyeyxux, 又由

yexvygyeyuxxsin)(sin



，故 0)(yg, 所以cyg)( 。

则 cezfz)( ----------3分
2) 当 1p时, yevxsin, 由C-R方程,

yeyvxuxcos



, 则)(cos),(ygyeyxux, 又由

yexvygyeyuxxsin)(sin




，故 0)(yg, 所以cyg)( 。

则 cezfz)(
四(8分) 解: 1)在2||1z
11000111111()()(()())()21222nnnnnnnnzzfzzzzzzzz










-----4分

2) 在1|2|z
20)2(1)1(21))211)(2(11(21)1211(21)(n
n

n
zz

z
z
zzz
zf
-------4分

五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面
有一个一级极点 -2+i, 故

]2,54[Re25422izzesidxxxeizix







--------3分

)2sin2(cos54))2((lim222iezzeiziiziz




--------6分

故 2cos254Re254cos222edxxxedxxxxix ---------8分
六.(8分) 解: 22371()()Cfzdz -------3分
由于1+i在3||z所围的圆域内, 故
iCidiif1
2
2

2
|)173(2))1((173)1(






)136(2i

-------8分

七. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到








zazaie

e

ezf)(
(映射不唯一,写出任何一个都算对)