⼆二次函数压轴题解题思路路⼀一、基本知识1会求解析式2.会利利⽤用函数性质和图像3.相关知识：如⼀一次函数、反⽐比例例函数、点的坐标、⽅方程。

图形中的三⻆角形、四边形、圆及平⾏行行线、垂直。

⼀一些⽅方法：如相似、三⻆角函数、解⽅方程。

⼀一些转换：如轴对称、平移、旋转。

⼆二、典型例例题：（⼀一）、求解析式1.（2014•莱芜）过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c 经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；2.（2012•莱芜）顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；练习：（2014兰州）把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位⻓长度，再向上平移2个单位⻓长度后，所得函数的表达式为（）A.y=﹣2（x+1）2+2B.y=﹣2（x+1）2﹣2C.y=﹣2（x﹣1）2+2D.y=﹣2（x﹣1）2﹣2（⼆二）、⼆二次函数的相关应⽤用第⼀一类：⾯面积问题例例题.（2012•莱芜）如图，顶点坐标为（2，﹣1）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．）（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的⾯面积；2.（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．）（3）若△AOC沿CD⽅方向平移（点C在线段CD上，且不不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的⾯面积记为S，试求S的最⼤大值．3.（2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）点E时线段BC上的⼀一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什什么位置时，四边形CDBF的⾯面积最⼤大？求出四边形CDBF的最⼤大⾯面积及此时E点的坐标．第⼆二类：.构造问题（1）构造线段（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第⼆二象限部分上的⼀一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF⻓长度的最⼤大值，并求此时点D的坐标；（2）构造相似三⻆角形（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=．）（3）抛物线上是否存在⼀一点P，作PN垂直x 轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三⻆角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不不存在，请说明理理由．（3）构造平⾏行行四边形（2014•莱芜）如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4﹣x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的⼀一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平⾏行行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不不存在，请说明理理由；（4）构造等腰三⻆角形（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，-4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的⼀一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE⾯面积的最⼤大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上⼀一点，且△OMD为等腰三⻆角形，求M点的坐标．练习：（2014遵义）如图，⼆二次函数的图象与交于（3,0）、(-1,0)与轴交于点.若点，同时从点出发，都以每秒1个单位⻓长度的速度分别沿，边运动，其中⼀一点到达端点时，另⼀一点也随即停⽌止运动.（1）求该⼆二次函数的解析式及点的坐标.（2）当点运动到点时，点停⽌止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三⻆角形是等腰三⻆角形.若存在，请求出点的坐标，若不不存在，请说明理理由.（3）当，运动到秒时，△沿翻折，点恰好落在抛物线上点处，请判定此时四边形的形状,并求出点坐标.（5）构造直⻆角三⻆角形22.（2014•四川内江）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3.0）、C（0，4），点B在抛物线上，CB∥x轴，且AB平分∠CAO．（1）求抛物线的解析式；（2）线段AB上有⼀一动点P，过点P作y轴的平⾏行行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最⼤大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM是以AB为直⻆角边的直⻆角三⻆角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不不存在，说明理理由．（6）构造⻆角相等（2014•娄底）如图，抛物线y=x2+mx+（m﹣1）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C（0，c），且满⾜足x12+x22+x1x2=7．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上能不不能找到⼀一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不不能，请说明理理由．（7）构造梯形（2011莱芜）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O 、B 三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M 是抛物线对称轴上⼀一点，试求AM ＋OM 的最⼩小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P ，使得以点P 与点O 、A 、B 为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P 的坐标；若不不存在，请说明理理由．练习：（2010临沂）如图：⼆二次函数y =﹣x 2+ax +b 的图象与x 轴交于A （-，0），B （2，0）两点，且与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC 的形状；（2）在x 轴上⽅方的抛物线上有⼀一点D ，且A 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D 点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P ，使得以A 、C 、B 、P 四点为顶点的四边形是直⻆角梯形？若存在，求出P 点的坐标；若不不存在，说明理理由．（8）构造菱形（2013•枣庄）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，⼆二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下⽅方的抛物线上⼀一动点．（1）求这个⼆二次函数的表达式．（2）连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP ′C ，那么是否存在点P ，使四边形POP ′C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不不存在，请说明理理由．（3）当点P 运动到什什么位置时，四边形ABPC 的⾯面积最⼤大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最⼤大⾯面积．（9）构造对称点AC B（2011莱芜）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，已知点A(－2，－4)，OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M是抛物线对称轴上⼀一点，试求AM＋OM的最⼩小值；(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形．若存在，求点P的坐标；若不不存在，请说明理理由．（10）构造平⾏行行线（2013•威海海）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平⾏行行，并说明理理由．练习：（2014•⼭山东烟台）如图，在平⾯面直⻆角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=90°，OA=，抛物线y=ax2﹣ax﹣a经过点B（2，），与y轴交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理理由；（3）延⻓长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明ED∥AC的理理由．（11）构造垂直（2014宜宾市）如图，已知抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为M(0，–1)，与x轴交于A、B两点.(1)求抛物线的解析式；(2)判断△MAB的形状，并说明理理由；(3)过原点的任意直线(不不与y轴重合)交抛物线于C、D两点，连结MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理理由．（12）构造圆(2014年年淄博)如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直⻆角坐标系内的⼀一个动点．（1）使∠APB=30°的点P有⽆无数个；（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满⾜足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最⼤大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最⼤大的理理由；若没有，也请说明理理由．（13）轴对称（2012浙江丽⽔水）在直⻆角坐标系中，点A是抛物线y＝x2在第⼆二象限上的点，连接OA，过点O作OB⊥OA，交抛物线于点B，以OA、OB为边构造矩形AOBC．(1)如图1，当点A的横坐标为时，矩形AOBC是正⽅方形；(2)如图2，当点A的横坐标为时，①求点B的坐标；②将抛物线y＝x2作关于x轴的轴对称变换得到抛物线y＝－x2，试判断抛物线y＝－x2经过平移交换后，能否经过A，B，C三点？如果可以，说出变换的过程；如果不不可以，请说明理理由．（14）规律律（2014•江⻄西抚州，第23题，10分）如图，抛物线()位于轴上⽅方的图象记为1，它与轴交于1、两点，图象2与1关于原点对称，2与轴的另⼀一个交点为2，将1与2同时沿轴向右平移12的⻓长度即可得3与4；再将3与4同时沿轴向右平移12的⻓长度即可得5与6；……按这样的⽅方式⼀一直平移下去即可得到⼀一系列列图象1,2,……，n,我们把这组图象称为“波浪抛物线”.⑴当时，①求图象1的顶点坐标；②点(2014,－3)不不在(填“在”或“不不在”)该“波浪抛物线”上；若图象n的顶点n的横坐标为201，则图象n对应的解析式为，其⾃自变量量的取值范围为.⑵设图象m、m+1的顶点分别为m、m+1(m为正整数),轴上⼀一点Q的坐标为(12,0).试探究：当为何值时，以、m、m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形？并直接写出此时m的值.解析：(1)当时，①，∴F1的顶点是（-1,1)；②由①知：“波浪抛物线”的值的取值范围是-1≤≤1，∴点H(2014,-3)不不在“波浪抛物线”上；由平移知：F2：F3：，…，∵F n的顶点横坐标是201，∴F n的解析式是：，此时图象与轴的两个交点坐标是（200,0)、(202,0),∴200≤≤202.(2)如下图，取OQ的中点O′,连接T m T m+1,∵四边形OT m QT m+1是矩形，∴T m T m+1=OQ=12,且T m T m+1经过O′,∴OT m+1=6,∵F1：∴T m+1的纵坐标为，∴()2+12=62,∴=±,已知＜0，∴.∴当时，以以O、T m、T m+1、Q四点为顶点的四边形为矩形.此时m=4.解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过A（﹣1，0），C（0，2）．解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2；（2）∵y=﹣x2+x+2，∴y=﹣（x﹣）2+，∴抛物线的对称轴是x=．∴OD=．∵C（0，2），∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理理，得CD=．∵△CDP是以CD为腰的等腰三⻆角形，∴CP1=CP2=CP3=CD．作CH⊥x轴于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1（，4），P2（，），P3（，﹣）；（3）当y=0时，0=﹣x2+x+2∴x1=﹣1，x2=4，∴B（4，0）．设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+2．如图2，过点C作CM⊥EF于M，设E（a，﹣a+2），F（a，﹣a2+a+2），∴EF=﹣a2+a+2﹣（﹣a+2）=﹣a2+2a（0≤x≤4）．∵S四边形CDBF=S△BC D+S△CEF+S△BEF=BD•OC+EF•CM+EF•BN，=+a（﹣a2+2a）+（4﹣a）（﹣a2+2a），=﹣a2+4a+（0≤x≤4）．=﹣（a ﹣2）2+∴a=2时，S四边形CDB F的⾯面积最⼤大=，∴E（2，1）．（2014•莱芜）解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．∴，解得，∴抛物线的表达式为：y=﹣x2+x．（2）存在．设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代⼊入求得k=，∴直线OD解析式为y=x．设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，﹣x2+x），∴MN=|y M﹣y N|=|x﹣（﹣x2+x）|=|x2﹣4x|．由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平⾏行行四边形，则有MN=AC=3．∴|x2﹣4x|=3．若x2﹣4x=3，整理理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x=或x=；若x2﹣4x=﹣3，整理理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x=．∴存在满⾜足条件的点M，点M的横坐标为：或或．（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=x．如解答图所示，设平移中的三⻆角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设⽔水平⽅方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t），Q（1+t，+t），C′（1+t，3﹣t）．设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3﹣t）代⼊入得：b=﹣4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x﹣4t．∴E（t，0）．联⽴立y=3x﹣4t与y=x，解得x=t，∴P（t，t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=t．∴S=S△O FQ﹣S△O E P=OF•FQ﹣OE•PG=（1+t）（+t）﹣•t•t=﹣（t﹣1）2+当t=1时，S有最⼤大值为．∴S的最⼤大值为．（2013•莱芜）解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=．（2）将x=0代⼊入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．设直线MA的表达式为y=kx+b，则．解得．∴直线MA的表达式为y=x+1．设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．DF==．当时，DF的最⼤大值为．此时，即点D的坐标为（）．（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三⻆角形与△MAO相似．设P（m，）．在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三⻆角形相似，由题意可知，点P不不可能在第⼀一象限．①设点P在第⼆二象限时，∵点P不不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．⼜又﹣3＜m＜0，故此时满⾜足条件的点不不存在．②当点P在第三象限时，∵点P不不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．综上所述，满⾜足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．（2012•莱芜）解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，代⼊入C（O，3）后，得：a（0﹣2）2﹣1=3，a=1∴抛物线的解析式：y=（x﹣2）2﹣1=x2﹣4x+3．（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；设直线BC的解析式为：y=kx+3，代⼊入点B的坐标后，得：3k+3=0，k=﹣1∴直线BC：y=﹣x+3；由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则D（2，1）；∴AD2=2，AC2=10，CD2=8即：AC2=AD2+CD2，△ACD是直⻆角三⻆角形，且AD⊥CD；∴S△A C D=AD•CD=××2=2．（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：①∠DFE=90°，即DF∥x轴；将点D纵坐标代⼊入抛物线的解析式中，得：x2﹣4x+3=1，解得x=2±；当x=2+时，y=﹣x+3=1﹣；当x=2﹣时，y=﹣x+3=1+；∴E1（2+，1﹣）、E2（2﹣，1+）．②∠EDF=90°；易易知，直线AD：y=x﹣1，联⽴立抛物线的解析式有：x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4；当x=1时，y=﹣x+3=2；当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；∴E3（1，2）、E4（4，﹣1）；综上，存在符合条件的点E，且坐标为：（2+，1﹣）、（2﹣，1+）、（1，2）或（4，﹣1）．（2011莱芜）解得：∴抛物线的函数表达式为。