模拟题（一）一、选择题(单选，14道小题，每题3分，共42分)1. 设A X =2.40315是真值T X =2.403147的近似值，则A X 有__C__位有效数字。

A 、4 B 、5 C 、6 D 、7 2. 上题中A X 的绝对误差限为 C 。

A 、30.510-⨯B 、40.510-⨯C 、50.510-⨯D 、60.510-⨯3. 当计算公式的第n +1步的误差e n +1与第n 步的误差e n 满足__A__时，称此计算公式是绝对稳定的。

A 、11n n e e +≤ B 、11n n e e +≥ C 、10n n e e +≤ D 、10n nee +≥ 4. 数值x *的近似值x ，那么按定义x 的相对误差是__A_。

***A B *C D **x x x xx x x xx x x ----、、、、 5. 用列主元高斯消去法解线性方程组12312312231425427x x x x x x x x -+=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，则第一次选取的列主元为 B 。

A 、2B 、4C 、1D 、-16. 设ƒ(x)=4x 4＋4x 3－2x 2＋3x ＋2，取x 1=0，x 2=0.2，x 3=0.5，x 4=1，x 5=2，x 6=2.4，x 7=4。

在这些点上关于ƒ(x)的插值多项式为6()P x ，则ƒ(0.1)-6(0.1)P =_____D_____。

A 、0.01 B 、0.002 C 、0.003 D 、07. 以下方程求根的数值计算方法中，收敛速度最快的是： C 。

A 、二分法 B 、简单迭代法 C 、牛顿迭代法 D 、割线法8. 要构造f (x )=e x 的4次拉格朗日多项式，至少需要已知f (x )上 C 个插值节点的取值。

A 、3 B 、4 C 、5 D 、69. 已知等距节点的插值型求积公式()()3102k k k f x dx A f x =≈∑⎰，那么3k k A ==∑__D___。

A 、2B 、4C 、6D 、810. 通过__C__个点来构造多项式的插值问题称为抛物插值。

A 、1 B 、2 C 、3 D 、411. 关于点()()0011,, ,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01, l x l x 满足: D 。

A 、()00l x =1，()10l x =1B 、()00l x =0，()10l x =0C 、()00l x =1，()11l x =0D 、()00l x =1，()10l x =012. 用于求解()()baI f f x dx =⎰的求积公式[()()]2b af a f b -+是 A 。

A 、梯形公式 B 、辛卜生公式 C 、柯特斯公式 D 、复化辛卜生公式 13. 复化辛卜生公式是 C 阶收敛的。

A 、2 B 、3 C 、4 D 、614. “折线法”是以下哪种数值计算方法的别称：_D___。

A 、 二分法B 、牛顿迭代法C 、LU 分解法D 、欧拉公式二、计算题（共58分）1. 利用秦九韶算法计算多项式76432()23461p x x x x x x x =--+-+-在x ＝2处的值 p (2)。

（8分） 解：将所有多项式的系数按降幂排列，缺项系数看成零。

所以p (2)= -9。

2. 用牛顿法求方程3310xx --=在[]1,2之间的近似根，计算过程中小数点后保留5位数字。

要求10.00005n n x x --≤，取2作为初始值。

（15分）解：设()331f x x x =--，则()233f x x '=-取2x =作初始值，则迭代公式为1203416122006410810032549x ----=---------()()()33111111221110312133312n n n n n n n n n n f x x x x x x x f x x x x ---------⎧--+=-=-=⎪'--⎨⎪=⎩， 1,2,n =··· （得到正确的迭代公式给6分）02x =，()3122211.88889321x ⨯+==⨯-， ()3222 1.888891 1.879453 1.888891x ⨯+==⨯-， 210.00944x x -= ()3322 1.879451 1.879393 1.879451x ⨯+==⨯-， 320.00006x x -=()3422 1.879391 1.879393 1.879391x ⨯+==⨯-， 430.00005x x -< 方程的根 1.87939x *≈ （计算结果正确得9分，共计15分） 3. 设2412A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2436B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，求AB 和BA 。

（3分） 解：242416321236816AB ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭242400361200BA -⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭4. 用LU 分解法求解方程组 （8分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛201814513252321321x x x 解：（1）对于r = 1，111=u 212=u 313=ul 21 = 2 l 31 = 3 （2）对于r = 2， 12212222u l a u -== 5 – 2 ⨯ 2 = 113212323u l a u -== 2 – 2 ⨯3 = -451)231()(2212313232-=⨯-=-=u u l a l（3）r = 324))4()5(33(5)(233213313333-=-⋅-+⨯-=+-=u l u l a u于是LU A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2441321153121（4）求解： Ly = b 得到y 1 = 14y 2 = b 2 – l 21y 1 = 18 – 2 ⨯ 14 = -10 y 3 = b 3 – (l 31y 1 + l 32y 2) = 20 – (3⨯ 14 + (-5)(-10)) = - 72 从而 y = (14, -10, -72)T 由Ux = y 得到324723333=--==u y x21)34(10)(2232322=⨯---=-=u x u y x11)3322(14)(1131321211=⨯+⨯-=+-=u x u x u y xT x )3,2,1(=（解法二：利用紧凑格式对增广矩阵进行矩阵分解得到正确的LU 矩阵及方程根的，也是正确的解法）5. 用高斯——塞德尔迭代法解方程组（8分）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛434510*********x x x（1）写出高斯——塞德尔法迭代公式。

（4分） （2）取T X）（）（0000=，求出）（2X 。

（4分）解 （1）对3,2,1=i ，从第i 个方程解出i x ，得高斯——塞德尔法迭代公式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=---=-=+++++Λ,1,0,)4(51)3(51)4(51)1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1m x x x x x x x m m m m m m m（2） 54)1(1=x =0.8， 2519)1(2-=x =-0.76， 125119)1(3=x =0.952 125119)2(1=x=0.952， 625613)2(2-=x =-0.9808， 31253113)2(3=x =0.99626. （8分）（1） 已知x = 0, 2, 3, 5，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5，作三次牛顿插值多项式。

（6分） （2） 若给（1）已知的四个点再增加一个点x = 6，y = 6，作四次牛顿插值多项式。

（2分） 解：作差商表x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10103)3)(2(32)2(11)(3⋅--+⎪⎭⎫⎝⎛--+⋅+=x x x x x x x N如已知x = 0, 2, 3, 5, 6时，对应的函数值为y = 1, 3, 2, 5, 6（即增加了一个点），作差商表x y 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 1 2 3 1 3 2 -1 -2/3 5 5 3/2 5/6 3/10 6 6 1 -1/6 -1/4 -11/120四次牛顿插值多项式为⎪⎭⎫⎝⎛----+=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅---+⋅--+⎪⎭⎫⎝⎛--+⋅+=12011)5)(3)(2()(12011)5)(3)(2(103)3)(2(32)2(11)(34x x x x x N x x x x x x x x x x x N7. 试确定求积公式中的待定系数，使代数精度尽可能高，指出代数精度是多少。

（8分）⎰++-≈-)()0()()(210h f A f A h f A dx x f hh。

解：将21(),,f x x x =分别代入求积公式，令求积公式成立，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--=++32022021032)(0)(2hA A h A A h h A A A 从而解得0211433,A A h A h ===，所求公式至少具有两次代数精度，且进一步有333()33hhh hx dx h h -=-+⎰ ， 444()33hhh hx dx h h -≠-+⎰ 从而原积分公式4()()(0)()333h hh h hf x dx f h f f h -≈-++⎰具有三次代数精确度。