第一节 根轨迹的基本概念
二、根轨迹与系统性能
根轨迹图可以分析系统的各种性能： ω j ∞ ↑ 稳定性: 根轨迹均在s的左半平 Kr 面，则系统对所有k>0的值是稳定的。 s K =0 1 1 s1 2 r 0 σ -1 稳态性能：如图有一个开环极点 -2 -1 s=0，说明属于I型系统，阶跃作用 Kr ∞ 下的稳态误差为0。 动态性能：过阻尼 临界阻尼 欠阻 尼。 K越大，阻尼比 越小，超调量σ%越大。
第四章 根轨迹分析法
第一节 根轨迹的基本概念
当系统的某个参数变化时，特征方程的根随 之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究 S 平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统 性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。
第一节 根轨迹的基本概念
一、根轨迹
设系统的结构如图 K r变化时,闭环特征 Kr 根在 s平面上的轨迹 : 极点；右半平面为 C(s) 2+2s+K s1 s2 Kr 不稳定极点；虚轴 R(s) =s∞ ω r j ↑ -2 0 0 上为临界极点。 闭环特征方程式 Kr 1 -1 -1 1 2 (2) 0<Kr<1时，系统 s 0 s2 +2s+K Kr=0 1r= s1 -1-j -1+j 2 0 σ -1 有呈过阻尼状态。 -2 特征方程的根 -1 -1+j∞ -1-j∞ Kr (3) 当 时，系统 ∞Kr=1 s1.2 =-1± 1-Kr ∞ 呈临界阻尼状态 。 得相应的闭环特征根值: (4) 1<Kr<∞时，系统呈欠阻尼状态。
↑
↑
第一节 根轨迹的基本概念
三、闭环零、极点与开环零、极点的关系
系统传递函数为
G( s) ( s) 1 G(s) H (s)
R(s)
-
G(S)
C(s)
H(S)
前向通路传递函数
K ( s 1)( s 2 1 2 s 1) * G ( s ) G 1 KG s (T1s 1)(T s 2 2T2 s 1)
j 1
i 1
(s pi )
* * n q h , m f l , K * KG KH
第一节 根轨迹的基本概念
闭环传递函数
G ( s) (s) 1 G ( s) H ( s)
* KG n i 1 f h
(s z i ) (s p j )
σ
s6 部相等，虚部大小相等符 Kr=0→∞每一个根由始点连 号相反。 续地向其终点移动，形成一条根轨迹， n个根形
s4
根轨迹必定对称于实轴。 成 n条根轨迹。
第二节 根轨迹绘制的基本法则
三、根轨迹的渐近线
当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根 轨迹分支沿着与实轴交角为 a 和交点为 a的一 组渐进线趋向无穷远处。 渐近线与实轴的夹角：
第一节 根轨迹的基本概念
设复平面开环极点中线上任意点s2 s2与开环零、极点之间的矢量： s2的相角方程为：
2
s2 p2 θ 2 -2 θ 2
ω j
θ 1 p1 0 σ θ 1 s3
-∑ (s2–pj)=θ - 1θ
j =1
2
=θ - 1 -(180o-θ 1 )=-180º
中线上的点都是根轨迹上的点。
↑
↑
从根轨迹可知 : R(s) Kr C(s) - s(s+2) (1)左半平面为稳定
第一节 根轨迹的基本概念
*根轨迹法的基本思路: *根轨迹法的分析手段:
闭环特征方程的根的位置与系统的 性能是密切相关的，当系统的某个参数 利用根轨迹法来分析和设计系统，首 发生变化时，特征方程的根在平面上的 先必须绘制出系统的根轨迹图，而采用求 位置以及系统的性能将随之而变. 解方程根的方法来绘制高阶系统的根轨迹 图显然是难以实现的，必须找到一种方便、 *根轨迹的定义: 有效的作图方法。作图方法的依据就是根 系统的一个或多个参数由零变到无 穷大时，闭环特征方程的根在S平面上 轨迹方程。 移动的轨迹。
另： s
8
n-m条根轨迹终 止于无穷远
j =1
( s-z ) i i =1 1 n ≈ sn-m =0 (s-pj)
第二节 根轨迹绘制的基本法则 例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。
Kr(s2+2s+2) G(s)H(s)= s(s+1)(s+2) 解： 开环零、极点分布： 两条根轨迹终止于开环传 z1 递函数的两个零点，另一条 p1= 0 p2= -1 p3= -2 趋于无穷远。 z1= -1+j z2 = -1-j p3 p
第一节 根轨迹的基本概念
四、根轨迹方程
根轨迹方程为 设系统的结构如图 『注』 -m 当s m 满足相角方程时， 系统闭环传递函数为 H(s) 必然能找到一个 (s-zi) Kr i =1 Kri =1(s-zi) Kr值，使得 相角条件是确定 S平面上根轨迹的充要条件，即绘 n =1 G(s) C(s) =-1 n 该 s 满足幅值方程。 开环传递函数零点 (s-pj) 制根轨迹时，只需使用相角条件； = ( s-p ) 根轨迹增益 R(s) 1+G(s)H(s) j =1 j m j =1 * mK ( s-z ) K 当需要确定根轨迹上各点的 时，才使用模植条 i r i =1 开环传递函数的 所有满足相角方程的 s 满足开环传递函 G(s)H(s)= n 根轨迹方程又可 1 i =1 (s-zi) 件。 ( s-p ) n = 构成了闭环特征方程式根 或 一般表达式为 j K 数等于 -1 的 s 即为 j =1 分解为幅值方程和 r (s-pj) 的轨迹。 j =1 相角方程 闭环特征方程式的 开环传递函数极点 闭环特征方程式为 相角方程。 n m 根。 即 πG(s)H(s)=-1 K=(0, ±1, ±2…) (s-zi ) ∑ (s-pj)= (2k+1) ∑ 1+G(s)H(s)=0 即 j =1 i =1
例 已知系统的开环传递函数，根据相角方程确 定系统的根轨迹图。 Kr
解：开环零、极点分布为：
该系统的相角方程为：
G(s)= s(s+2)
ω j
-∑ (s–pj) =±(2k+1) π
j =1
2
p2 θ -2
2
设实轴上任意点s1
2
s1 θ
1
p1 0 σ
s1与开环零、极点之间的矢量：
s1的相角方程为： -∑ (s1–pj) =θ - 2 =-180º θ 1 j =1 s1为根轨迹上的点。 p1~p2 为根轨迹段。
G(S)
H(S)
C(s)
(s p j )
j 1
开环传递函数
* * G ( s) H ( s) K G KH i 1 q
(s z i ) (s z j )
j 1 h
f
l
(s z j ) K*
j 1 n
m
i 1
(s pi ) (s p j )
s1
2 × p2
5 4
z1 z2
× p3
3
1 × p1
1 130 ,2 100 ,3 80 ,4 70 ,5 60
根据相角条件判断某点是否在根轨迹上！
(4 5 ) (1 2 3 )?(2k 1)
第一节 根轨迹的基本概念
2 2 2 2 2 2
(s z ) (s p )
i 1 i i 1 q i
f
其中：
* KG KG
2 1 2
T1T22
前向通路增益
前向通路根轨迹增益
第一节 根轨迹的基本概念
反馈通路传递函数
(s z j )
* H (s) K H j 1 h l
R(s) -
(2k 1) a nm
a
渐近线与实轴的交点：
p z
i 1 i j 1
n
m
j
nm
第二节 根轨迹绘制的基本法则
例 已知系统的开环传递函数，试确定 系统的根轨迹图。 Kr G(s)H(s)=s(s+1)(s+2)
o + 解：1K=0 ）开环零、极点： θ= 60 p3=-2 p1=0 p2=-1 +180 o K=1 θ= 2）实轴上的根轨迹段： -1 = 与实轴的交点 : σ= -1-2 p3~ - 3 p1~p2 4 3）系统的根轨迹 ）根轨迹的渐近线： n-m=3 π + (2k+1) 与实轴的夹角 : θ= 3
R(s) 幅值方程 C(s) G(s)
第一节 根轨迹的基本概念
相角方程的物理意义
s z s p 2k 1 k 0,1,2
i 1 i i 1 i
m
n
『结论』
相角方程：所有开环零点指向任一闭环极点（根轨 迹上任一点）的向量与正实轴的夹角之和减去所有 开环极点指向同一闭环极点的向量与正实轴的夹角 之和满足(2k+1)π
第一节 根轨迹的基本概念
模值方程的物理意义
K * s zi
i 1 m
s p
i 1
n
1
i
『结论』
模值方程：所有开环零点指向任一闭环极点的向量 的长度之积与所有开环极点指向同一闭环极点的向 量的长度之积的比等于开环根轨迹增益倒数。
第一节 根轨迹的基本概念
『问题』判断s1是否根轨迹上的点?
jω
8
p3 -2
p2 600 p 0 1 -1
第二节 根轨迹绘制的基本法则
四、实轴上的根轨迹段 系统开环零、极点分布为： 共轭开环零、极点构 φ 1 p3 设实轴上任意点 s1 成的相角正负抵消 θ 3 θ 1 p1 θ 2 s1与开环零、极 s1 0 σ p2 实轴上根轨迹段右侧 点之间的矢量： θ 4 的开环零、极点个数之和 s1的相角方程为： φ 2 p4 4 2 为奇数 。 z2 ∑ (s1-zi) -∑ (s1–pj)