3. Z变换的性质
(1) 线性定理
若：Z [ f1 (t )] F1 ( z ), Z [ f 2 (t )] F2 ( z )， 则 Z [1 f1 (t ) 2 f 2 (t )] 1F1 ( z ) 2 F2 ( z )
(2) 延迟定理 设t<0时f(t)=0，令Z[f(t)]=F(z)，则
T
G1(s)
G2(s)
C(t)
* * * C ( s) G2 ( s) M ( s) * * * * C ( s ) G ( s ) G ( s ) r ( s) 2 1 * * * M ( s) G1 ( s)r ( s)

C* ( s ) r* ( s )
(z) G1* ( s)G2* ( s) C R ( z ) G1 ( z )G2 ( z )
- Ts
r * (t )
C(t)
零阶保持器 G1(s)
G2(s)
G1s)
1-e- Ts S
G1 ( s)G2 ( s) 1-es G2 ( s) (1 e Ts ) G2s( s ) G1 ( s)G2 ( s) (1- eTs )
G2 ( s ) s
G2s( s ) - G2s( s ) eTs
Ts 1 1 1 e g h (t ) 1(t ) 1(t T ) H 0 (s) eTs 拉氏变换 s s s
7.3 Z变换
x(t )经过周期为 T的等周期采样后，得到 离散时间信号
x (t ) x(kT ) (t kT )
k 0

拉氏变换
X (s) x(kT )ekTs
aT
)
(5) 初值定理
设 Z[f(t)]=F(z)，且当t<0时，x(t)=0，则函数的初值为
f (0) lim f (t ) lim F ( z )
t 0 z
(6) 终值定理
设 Z[f(t)]=F(z)，且（z-1）F(z)的全部极点位于z平面单 位圆内，则函数的终值为
f () lim f (t ) lim( z 1) F ( z )
r * (t )
r (t )
c(t)
C * (t )
T
r ( z)
G(s)
C(z)
虚设一个 采样开关
c( z ) 输出脉冲序列c(k )的Z 变换 G( z ) r ( z ) 输入脉冲序列r (k )的Z 变换
线性离散系统的开环脉冲传函
1.串联环节间无同步采样开关
r (t )
C * (t )
(3) 留数法
k 1 f (kT ) res F ( z ) z i 1 n
z zi
z i 表示 F ( z ) 的第个极点。
单极点 重极点
res[ F ( z) z k 1 ]zzi lim[( z zi ) F ( z) z k 1 ]
z zi
res[ F ( z ) z k 1 ]z z i
结论: 有采样开关隔离时两个线性环节串联，其脉冲传函为 两个环节分别求Z变换后的乘积。可推广到n个环节。
结论：
中间具有采样器的环节，总的脉冲传函 等于各脉冲环节传函之积，而串联环节中间 没有采样器时，其总的传函等于各环节相乘 积后再取Z变换。
3.环节与零阶保持器串联时的脉冲传函
r (t )
零阶保持器传函
采样周期的选取： 原则上采样周期的选取应该保证能够复现系统所能பைடு நூலகம்过 的最高频率的信号，一般需要经过实验确定。对于伺服 系统一般认为频率超过c的信号将被滤除，因而一般选 择采样周期s 10c
信号的复现D/A转换
x (t )
T 2T 3T
解码，将数字信号折算成对应的电压或电流值 x( KT ) 保持，一般采用零阶保持器使得D/A输出信号 xh (kT ) x( KT ) (0 T ) 零阶保持器的单位冲激响应和传递函数可以表示为
5. 量化
离散控制系统
系统中既含有连续信号又含有离散模拟信号的混合系统。
7.2 A/D转换与采样定理及D/A转换
A/D转换
f * (t ) f (t )T(t) f (t ) (t kT)
k

f * (t ) 经过量化，编码后成为数字信号
采样定理
采样定理： 如果对一个有限频谱（-max max）的连续信号 进行采样，当采样频率s 2max时，则由采样得到的 离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号
例7-4 求 F ( z ) Z[sint ]
1 1 2j 2j 解： L[sin t ] 2 s 2 s j s j 因为 所以 1 j ( t ) L e s j 1 1 1 1 F ( z) z 2 2 jT 1 jT 1 s 2 j 1 e z 2 j 1 e z z 1 sin T z 1 sin T jT 1 jT 1 2 1 e z e z z 1 2 z 1 cos T z 2
r * (t )
T
G1(s)
G2(s)
* r C(s) G 1 (s)G 2 (s) (s) * C (s) G 1 G 2 (s) r * (s) * C* (s)
C(t)
r* (s)
G 1 G 2 * (s)
C* (z) r* (z)
G(z)
Z[G 1 G 2 * (s )] G 1 G 2 ( z )
第七章 线性离散控制系统分析初步
•学习重点

了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连 续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉 冲传递函数的计算方法； 掌握线性离散系统的时域分析方法


7.1 线性离散系统的基本概念
2. Z变换的方法
(1) 级数求和法
例7-1 求1*（t）的Z变换 。
解：F ( z ) Z [1 (t )] 1(kT )z k
k 0 2

z z z
0
1
1 z (| Z | 1) 1 1 z z 1
例7-2 求 e

at
的F(z)。
解：F z e akT z k e0 z 0 e aT z 1 e 2 aT z 2
即
b0 z m b1 z m1 F ( z) a0 z n a1 z n1
将F ( z ) 展成
bm , nm an
F ( z) c0 z 0 c1z 1 c2 z 2
对应原函数为 f kT c0 t c1 t T c2 t 2T
t z 1
(7) 卷积定理
若：Z [ f1 (t )] F1 ( z ), Z [ f 2 (t )] F2 ( z )， 则 F1 ( z ) F2 ( z ) Z [ f1 (mT ) f 2 (kT mT )]
m0
4.
Z反变换
(1) 幂级数展开法
用长除法把 F ( z ) 按降幂展成幂级数，然后求得 f (kT ) ，
1
1 , G ( s ) (0.1s 1) 2 s
G1(s)
G2(s)
解 : G( z ) Z [G1 ( s)G2 ( s)] G1G2 ( z ) Z [ z (1- e-10T ) -10T ( z -1)( z - e )
k 0
z aT (| e Z | 1) aT 1 aT 1 e z z e
1
(2) 部分分式法
首先把 F ( s) 分解为部分分式之和，然后再对 每一部分分式求Z变换。
a
例7-3 求解 F ( s)
s(s a)
的Z变换 。
A B 1 1 解：因为 F s s sa s sa 而 L1[ F s ] 1(t ) e at z z z (1 e aT ) 所以 F ( z ) aT z 1 z e ( z 1)( z e aT )
k 0

令：
ze
Ts

得到：X ( z ) x(kT )z k
k 0
称为离散时间函数－脉冲序列x (t )的z变换 记为：X ( z ) [ x (t )]
规定连续时间信号 x(t )与采样后得到的采样脉 冲序列x (t ) 具有相同的z变换：X ( z ) [ x(t )] [ x (t )]
Z f (t nT ) z n F ( z)
(3) 超前定理
令 Z[f(t)]=F(z)，则
n 1
Z [ f (t nT )] z n [ F ( z ) f (kT ) z k ]
k 0
(4) 复位移定理
设 Z[f(t)]=F(z)，则
Z[e
at
f (t )] F ( ze
d r 1[( z zi )r F ( z ) z k 1 ] 1 r 1 (r 1)! lim dz z zi
7.4
脉冲传递函数
1. 脉冲传递函数的定义
线性定常离散控制系统，在零初始条件下，输出序 列的z变换与输入序列的z变换之比，称为该系统的脉 冲传递函数（或称z传递函数）
结论:没有采样开关隔离时两个线性环节串联,其脉冲传函 为这两个环节的传函相乘之积的Z变换。可推广到n个环节。
2.串联环节有同步采样开关
* r (t ) r (t )
M(t)
c* (t )
* C ( s ) G ( s ) M ( s) 2 * M ( s ) G ( s ) r ( s) 1