第51讲 双曲线1．双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的__距离的差的绝对值__等于常数(小于||F 1F 2)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做__双曲线的焦点__，两焦点间的距离叫做__双曲线的焦距__．集合P ＝{}M ||| ||MF 1－||MF 2＝2a ，||F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数，且a >0，c >0. (1)当__a ＜c __时，点P 的轨迹是双曲线； (2)当__a ＝c __时，点P 的轨迹是两条射线； (3)当__a ＞c __时，点P 不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R3．常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线x a 2－y b 2＝0(a ＞0，b ＞0)的距离为b .如右图△OFH是分别以边a ，b ，c 为边长的直角三角形．(2)如下图：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0) 则有：P 1，P 2两点坐标都为⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，即||FP 1＝||FP 2＝b2a.1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)平面内到点F 1 (0,4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m ＞0，n ＞0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )解析 (1)错误．由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部． (2)错误．因为||||MF 1－||MF 2＝8＝||F 1F 2，表示的轨迹为两条射线．(3)错误．当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线．(4)正确．因为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±b a x ，即x 2a 2－y 2b 2＝0，所以当λ＞0时，x 2λm 2－y 2λn 2＝1(m ＞0，n ＞0)的渐近线方程为x 2λm 2－y 2λn 2＝0，即x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0，同理当λ＜0时，仍成立，故结论正确．2．过双曲线x 2－y 2＝8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若||PQ ＝7，F 2是双曲线的右焦点，则△PF 2Q 的周长是( C )A ．28B ．14－82C ．14＋82D ．8 2解析 由双曲线定义知，||PF 2－||PF 1＝42，||QF 2－||QF 1＝42，∴||PF 2＋||QF 2－(||PF 1＋||QF 1)＝8 2. 又||PF 1＋||QF 1＝||PQ ＝7， ∴||PF 2＋||QF 2＝7＋8 2. ∴△PF 2Q 的周长为14＋8 2.3．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4D ．4 2解析 双曲线2x 2－y 2＝8的标准方程为x 24－y 28＝1，所以实轴长2a ＝4，故选C ．4．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( C )A ．4B ．3C ．2D ．1解析 双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为x a ±y3＝0.整理得3x ±ay ＝0，故a ＝2，故选C ．5．(2017·北京卷)若双曲线x 2－y 2m＝1的离心率为3，则实数m ＝__2__.解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝1，b 2＝m ，所以a ＝1，c ＝1＋m ，所以1＋m1＝3，解得m ＝2.一 双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义和标准方程中的注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义．(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支．(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a ，b ，c 的关系易错易混． 【例1】 (1)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是( B )A ．x 24－y 25＝1B ．x 24－y 25＝1C ．x 22－y 25＝1D ．x 22－y 25＝1(2)设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3||PF 1＝4||PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( C )A ．42B ．83C ．24D ．48(3)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左、右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( C )A ．37＋4B ．37－4C ．37－25D ．37＋2 5解析 (1)由曲线C 的右焦点为F (3,0)，知c ＝3，由离心率e ＝32，知c a ＝32，则a ＝2，故b 2＝c 2－a 2＝9－4＝5，所以双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)双曲线的实轴长为2，焦距为||F 1F 2＝2×5＝10.据题意和双曲线的定义知2＝||PF 1－||PF 2＝43||PF 2－||PF 2＝13||PF 2，∴||PF 2＝6，||PF 1＝8，∴||PF 12＋||PF 22＝||F 1F 22，∴PF 1⊥PF 2. ∴S △PF 1F 2＝12||PF 1·||PF 2＝12×6×8＝24. (3)|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ，要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5.二 双曲线的几何性质及其应用双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)．依据题设条件，将问题转化为关于a ，c 的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得．(2)求双曲线的渐近线方程．依据题设条件，求双曲线中a ，b 的值或a 与b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．(3)求双曲线的方程．依据题设条件求出a ，b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程． (4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长．依题设条件及a ，b ，c 之间的关系求解． 【例2】 (1)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( C )A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ．y ＝±12xD ．y ＝±x(2)(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( A )A ．2B ．3C ．2D ．233(3)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右顶点为A ，过其左焦点F 作x 轴的垂线交双曲线于M ，N 两点，且MA →·NA →>0，则该双曲线的离心率的取值范围为( B )A ．(2，＋∞)B ．(1,2)C ．⎝⎛⎭⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎫1，32 解析 (1)∵e ＝c a ＝52，∴e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝54，∴a 2＝4b 2，b a ＝12，∴渐近线方程为y ＝±b a x ，即y ＝±12x .(2)依题意，双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为bx －ay ＝0.因为直线bx －ay ＝0被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，所以|2b |b 2＋a 2＝4－1，所以3a 2＋3b 2＝4b 2，所以3a 2＝b 2，所以e ＝1＋b 2a2＝1＋3＝2.故选A ． (3)由题意，可得M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎫－c ，－b2a ，A (a,0)， ∴MA →＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ，－b 2a ，NA →＝⎝⎛⎭⎫a ＋c ，b 2a .∵MA →·NA →＞0，∴(a ＋c )2－b 4a 2＞0，∴a ＋c －b 2a＞0，∴2a 2＋ac －c 2＞0，即e 2－e －2＜0，又∵e ＞1，解得1＜e ＜2，故选B ．三 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系的解决方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立，消元后转化成关于x (或y )的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入．(2)与中点有关的问题常用点差法．(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系．【例3】 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若||AB ＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值． 解析 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2.故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①因为直线与双曲线右支交于A ，B 两点， 故⎩⎪⎨⎪⎧－2k 1－k 2>0且－21－k 2>0，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)＞0，即⎩⎨⎧k ＞1，－2＜k ＜2，所以1＜k ＜2，即k 的取值范围是(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1，∴||AB ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1＜k ＜2，∴k ＝52，∴x 1＋x 2＝45， y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8，设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得 (x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )，∵点C 是双曲线上一点，∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14，故k ＝52，m ＝±14.1．已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，点P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则点P 到x 轴的距离为( C )A ．233B ．2C ．2D ．263解析 F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2||x 0＝2，故选C ．2．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点A ，B ，若△OAB 的面积为13bc3，则双曲线的离心率为( D ) A ．52 B ．53 C ．132D ．133解析 由题意可求得||AB ＝2bc a ，所以S △OAB ＝12×2bc a ×c ＝13bc 3，整理得c a ＝133，即e＝133，故选D ．3．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，若||PF 1＋||PF 2＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程为( B )A ．x ±2y ＝0B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由题意不妨设||PF 1－||PF 2＝2a ，∵||PF 1＋||PF 2＝6a ，∴||PF 1＝4a ，||PF 2＝2a ，∵||F 1F 2＝2c ＞2a ，∴△PF 1F 2最小内角为∠PF 1F 2＝30°，在△PF 1F 2中，由余弦定理得4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×cos 30°，解得c ＝3a ，∴b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选B ．4．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为233. 解析 双曲线的右顶点为A (a,0)，一条渐近线的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，圆心A 到此渐近线的距离d ＝|ba －a ×0|b 2＋a 2＝abc ，因为∠MAN ＝60°，圆的半径为b ，所以b ·cos30°＝ab c ，即3b 2＝abc ，所以e ＝23＝233.易错点 求曲线方程时，忽略定义的应用错因分析：不能利用平面几何知识和双曲线定义解题，使解题无从入手．【例1】 已知△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程为________．解析 如图，||AD ＝||AE ＝8，||BF ＝||BE ＝2，||CD ＝||CF .所以||CA －||CB ＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)． 答案 x 29－y 216＝1(x >3)【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( A )A ．2B ．32C ．3D ．2解析 由MF 1⊥x 轴上，得M ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴|MF 1|＝b 2a ， 由双曲线的定义可得|MF 2|＝2a ＋|MF 1|＝2a ＋b 2a ，又sin ∠MF 2F 1＝|MF 1||MF 2|＝b 2a2a ＋b 2a＝13，化简得a ＝b ， ∴e ＝ 2.故选A ．课时达标 第51讲[解密考纲]对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步．一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( D )A ．5x 2－45y 2＝1B ．x 25－y 24＝1C ．y 25－x 24＝1D ．5x 2－54y 2＝1解析 ∵抛物线y 2＝4x 的焦点为 F (1,0)，∴c ＝1，∴e ＝c a ＝1a ＝5，得a 2＝15，b 2＝c 2－a 2＝45，则双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1，故选D ．2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x 2m ＋y 2＝1的离心率为( C )A ．63B ．2C ．63或2 D ．22或 3 解析 根据条件可知m 2＝9，∴m ＝±3.当m ＝3时，e ＝c a ＝63；当m ＝－3 时，e ＝2，故选C ．3．双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线与圆x 2＋(y ＋a )2＝1相切，则正实数a ＝( C )A ．174 B ．17 C ．52D ． 5解析 ∵双曲线x 22－2y 2＝1的渐近线方程为y ＝±12x ，圆心为(0，－a )，半径为1，∴由渐近线和圆相切，得|2a |5＝1，解得a ＝52.4．若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( D )A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等解析 因为0<k <9，所以两条曲线都表示双曲线．双曲线x 225－y 29－k ＝1的实半轴长为5，虚半轴长为9－k ，焦距为225＋(9－k )＝234－k ，离心率为34－k 5，双曲线x 225－k －y 29＝1的实半轴长为25－k ，虚半轴长为3，焦距为2(25－k )＋9＝234－k ，离心率为34－k25－k，故两曲线只有焦距相等．故选D ．5．(2017·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F和P (0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( B )A ．x 24－y 24＝1B ．x 28－y 28＝1C ．x 24－y 28＝1D ．x 28－y 24＝1解析 由e ＝2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为y ＝±x ，由P (0,4)知左焦点F 的坐标为(－4,0)，所以c ＝4，则a 2＝b 2＝c 22＝8.故选B ．6．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( A ) A ．x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0C ．x ±2y ＝0D ．2x ±y ＝0解析 由已知得1－⎝⎛⎭⎫b a 2·1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝32，解得b a ＝12，故选A ． 二、填空题7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直，C 的一个焦点到直线l 的距离为1，则C 的方程为__x 2－y 23＝1__. 解析 ∵双曲线的一条渐近线与直线l ：x ＋3y ＝0垂直， ∴双曲线的渐近线的斜率为3，即b a＝ 3.① 由题意知双曲线的焦点在x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得|c |2＝1， ∴c ＝2，即a 2＋b 2＝4.②联立①②，解得a 2＝1，b 2＝3 ，∴双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. 8．若双曲线x 2－y 2b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是__(1,2]__．解析 双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则有|0－2|1＋b 2≥1，解得b 2≤3，则e 2＝c 2a 2＝1＋b 2≤4，所以1<e ≤2.9．(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为__y ＝±2x __. 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知|AF |＝y 1＋p 2，|BF |＝y 2＋p 2，|OF |＝p 2，由|AF |＋|BF |＝y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝y 1＋y 2＋p ＝4|OF |＝2p ，得y 1＋y 2＝p .k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝x 222p －x 212p x 2－x 1＝x 2＋x 12p . 由⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝b 2a 2·x 1＋x 2p ， 则b 2a 2·x 1＋x 2p ＝x 2＋x 12p ，所以b 2a 2＝12⇒b a ＝22， 所以双曲线的渐近线方程为y ＝±22x . 三、解答题10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：点M 在以F 1F 2为直径的圆上．解析 (1)∵离心率e ＝2，∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，则由点(4，－10)在双曲线上，可得λ＝42－(－10)2＝6，∴双曲线方程为x 2－y 2＝6.(2)证明：∵点M (3，m )在双曲线上，∴32－m 2＝6，∴m 2＝3，又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23， 0)，F 2(23，0)，∴MF 1→·MF 2→＝ (－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0， ∴MF 1⊥MF 2，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上．11．设A ，B 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为43，焦点到渐近线的距离为 3.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线y ＝33x －2与双曲线的右支交于M ，N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OM →＋ON →＝tOD →，求t 的值及点D 的坐标．解析 (1)由题意知a ＝23，焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离bc b 2＋a 2＝3，即b ＝3， ∴双曲线方程为x 212－y 23＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝tx 0，y 1＋y 2＝ty 0.将直线方程代入双曲线方程得x 2－163x ＋84＝0， 则x 1＋x 2＝163，y 1＋y 2＝12.∴⎩⎨⎧ x0y 0＝433，x 2012－y 203＝1，∴⎩⎨⎧x 0＝43，y 0＝3. 由OM →＋ON →＝tOD →，得(163，12)＝(43t,3t )，∴t ＝4，点D 的坐标为(43，3)．12．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若l 与C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；(2)若l 与C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解析 (1)双曲线C 与直线l 有两个不同的交点，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1有两个不同的实数根，整理得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋8(1－k 2)>0，解得－2<k <2且k ≠±1. 故双曲线C 与直线l 有两个不同的交点时，k 的取值范围是(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)．(2)设交点 A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与y 轴交于点D (0，－1)，由(1)知，C 与l 联立的方程为(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k 2.∴S △OAB ＝12|x 1－x 2|＝2，∴(x 1－x 2)2＝(22)2， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8，解得k ＝0或k ＝±62. 又∵－2<k <2，且k ≠±1，∴当k ＝0或k ＝±62时，△AOB 的面积为 2.。