⋯ a2 n − 1 − a1n − 1 ⋯ a3 n − 1 − a2 n − 1 ⋯ ⋯ ⋯ xn − 1 − a( n − 2 )( n − 1) ⋯ 0
= x1 ( x2 − a12 )( x3 − a23 )⋯( xn − a( n − 1) n )
（4） a1 − b1 ）
a1 − b2 ⋯ a1 − bn a2 − b2 ⋯ a2 − bn ⋯ ⋯ ⋯ an − b2 ⋯ an − bn
ri − ri −1
a a+b a+b+c a a 2a + b 3a + b
= a0 i = 3,2 0
按第一 列展开
= a
a 2a + b = a 4 2 a 3a + b
（2） 1 ）
2 0 -2 ⋯ -2
3 3 0 ⋯ -3
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
n n n 0
-1 -1 ⋯ -1
解：
c i + c1
j1 ⋯ j5
如何组合， 分析 a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 ，无论 j1 j2 j3 j4 j5 如何组合， 中都至少有一个数字≥3， 在 j3 j4 j5 中都至少有一个数字 ，使得 a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 中出现 a ij ( i ≥ 3, j ≥ 3) ，使得 a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 = 0 因此该行列式的值为0. 因此该行列式的值为
j1 j2 j3 j4
则
是数字1、 、 、 的组合 的组合。 是数字 、2、3、4的组合。
含因子 a 23 时，令
j2 = 3
j1 j2 j3 j4 可能的组合有： 可能的组合有：
1324，1342，2314，2341，4312，4321 ， ， ， ， ， 其中奇排列为： 其中奇排列为：1324，2341，4312 ， ， 且带负号的项为： 则含因子 a 23 且带负号的项为：
sin 2 α （2） ） sin 2 β sin 2 γ
证明： 证明：
cos 2 α cos 2 β cos 2 γ
cos 2α cos 2 β = 0 cos 2γ
cos 2 α cos 2 β cos 2 γ cos 2 α - sin 2 α cos 2 β - sin 2 β cos 2 γ - sin 2 γ
b'+ c'
左边
c 2 − c1 c 3 − c1
( c1 + c 2 + c 3 ) ÷ 2
=
a+b+c c+a a+b 2 a'+ b'+ c' c'+ a' a'+ b' a' '+ b' '+ c' ' c' '+ a' ' a' '+ b' '
a+b+c a+b+c b c −b −c b' c' = 右边 = 2 a'+ b'+ c' − b' − c' = 2 a'+ b'+ c' a' '+ b' '+ c' ' − b' ' − c' ' a' '+ b' '+ c' ' b' ' c' '
（5） 1 + x1 y1 1 + x1 y2 ⋯ 1 + x1 yn ）
1 + x2 y1 1 + x2 y2 ⋯ 1 + x2 yn ⋯ ⋯ ⋯ ⋯
1 + xn y1 1 + xn y2 ⋯ 1 + xn yn
解：
1
1 + x1 y2 ⋯ 1 + x1 yn
x1 y1
1 + x1 y2 ⋯ 1 + x1 yn
a11a 23a 32 a44 , a12 a 23a 34 a41 , a14 a 23a 31a42
6. 利用行列式的定义计算 （2） ）
a11 a 21 a 31 a41 a51
a12 a 22 a 32 a42 a52
a13 a 23 0 0 0
a14 a 24 0 0 0
a15 a 25 0 = 0 0 ( −1)τ ( j1⋯ j5 ) a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 ∑
a1 − b2 a2 − a1 a3 − a1 ⋯ an − a1 a1 − b3 a2 − a1 a3 − a1 ⋯ an − a1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a1 − bn a2 − a1 a3 − a1 ⋯ an − a1
a2 − b1 ⋯
an − b1
解：
ri − r1
a1 − b1
1 0 z2 y2
1 z2 0 x2
1 y2 x2 0
0 c1 ÷ xyz 1 = 1 1
1 0 z2 y2
1 y2 = 右边 2 x 0
10. 计算行列式。 计算行列式。 b c d （1） a ） a a+b a+b+c a+b+c+d a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d 解： a b c d a a+b a+b+c ri − ri −1 0 a a+b a + b + c 按第一 a a 2a + b 3a + 2b + c = 原式 = i = 4, 3, 2 0 a 2a + b 3a + 2b + c 列展开 a 3a + b 6a + 3b + c 0 a 3a + b 6a + 3b + c
6. 利用行列式的定义计算 （4） ）
x 0 0 0 y
y x 0 0 0
0 y x 0 0
0 0 y x 0
0 0 0 = y x ( −1)τ ( j1⋯ j5 ) a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 ∑
j1 ⋯ j5
其中非0项为： 其中非 项为： 项为
( −1)τ (12345 ) a11a 22a 33 a44a55 + ( −1)τ ( 23451) a12 a 23 a 34 a45 a51 = x5 + y5
1 z2 0 x2
1 y2 x 0
2
, ( xyz ≠ 0)
0 21 左边 = ( xyz ) c2 ÷ x 1 c3 ÷ y c4 ÷ z 1
r2 ÷ x r3 ÷ y r4 ÷ z
1 0 z xy y xz
1 z2 0 x2
1 z xy 0 x yz
1 r2 × xyz 0 r3 × xyz y xz r4 × xyz 1 xyz = xyz xyz x yz 0 xyz
8. 利用行列式的性质计算 （3） ）
a b c b+c 2
r4 − r2 − r3
1 a b c 1 r4 ÷ 1 1 b 2 c a a b 1 = 2 c a b c+a a+b 1 b+c c+a a+b 2 2 a b c 1 1b c a 1 =0 2c a b 1 0 0 0 0
b c
A
i = 2 , 3⋯n
=
1 ⋯ 1
x1 1 + x1 y2 x 2 1 + x 2 y2 B = y1 ⋯ ⋯ x n 1 + x n y2 y1 ( x1 − x2 ) = 0
⋯ 1 + x1 yn ⋯ 1 + x2 yn ⋯ ⋯ ⋯ 1 + x n yn n=2 n>3
x1 1 ⋯ 1 c i − y i ⋅ c1 x2 1 ⋯ 1 = y1 i = 2 , 3⋯n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ xn 1 ⋯ 1
( x1 − x2 )( y1 − y2 ) ∴原式 = A + B = 0
n=2 n>3
（6） x1 − m ）
x1 ⋯ x1
x2 x2 − m ⋯ x2
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
xn xn ⋯ xn − m
1 解： c 1 + c 2 + ⋯+ c n n 1 ∑ xi − m 原式 = ⋯ i =1 1 1
⋯ ⋯
1 0
2 2
3 6
⋯ ⋯
n 2n 2n = n! ⋯ n
原式
0 0 3 ⋯ i = 2 , 3⋯n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 0 0 0 ⋯
=
（3） x1 a12 a13 ⋯ a1n − 1 ）
x1 x1 x2 x2 a23 ⋯ a2 n − 1 x3 ⋯ a3 n − 1 ⋯ ⋯ x3 ⋯ x3 ⋯ ⋯ xn − 1 xn − 1
∑ [l (i ) − r (i )] = ∑ l (i ) − ∑ r (i )
n n n j =1 j j j =1 j j =1 j
个不相等的自然数， 对于任意 n 个不相等的自然数，其中最大的数字有 n-1 个小 于它的， 个小于它的， 因此， 于它的，次大的数字有 n-2 个小于它的，…… 因此，